Eu sei que pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg que não é possível saber os valores exatos de posição e momento de uma partícula simultaneamente, mas podemos saber os valores exatos de momento e velocidade de uma partícula simultaneamente? Eu acho que a resposta seria não, porque mesmo se estivéssemos 100% certos da posição da partícula, estaríamos completamente inseguros quanto ao momento da partícula, fazendo-nos assim também completamente inseguro da velocidade da partícula. Alguém tem alguma ideia sobre isso?
Resposta
É bastante comum discutir os dois extremos do princípio da incerteza, senoide e função delta. Um tem um comprimento de onda perfeitamente definido, mas nenhuma posição, o outro tem uma posição perfeitamente definida, mas nenhum comprimento de onda.
No entanto, nenhuma dessas formas é terrivelmente física para a função de onda de posição de uma partícula. Uma verdadeira função de onda sinusoidal se estenderia por todo o espaço, o que é absurdo por várias razões (incluindo a presença de outra matéria). Uma verdadeira função delta teria a mesma probabilidade de ter qualquer momento, o que provavelmente violaria a conservação de energia. Então, esses dois limites extremos são matematicamente interessante, mas não fisicamente relevante.
Dada a questão “O princípio da incerteza limita o momento e a velocidade sendo simultaneamente bem definidos?”, a resposta é não.
Dado a pergunta “O princípio da incerteza me proíbe de medir qualquer variável única com precisão infinita?”, a resposta é não.
Dada a pergunta “Será que alguma coisa proíbe-me de medir com precisão infinita? “, a resposta é sim .
Então, sua pergunta menciona” valores exatos “, o que é muito interessante e espinhoso tema. (É possível medir um valor exato? Como saberíamos a diferença?) Você está realmente curioso sobre “valores exatos”? Você está mais curioso para saber onde o princípio da incerteza de Heisenberg se aplica e não se aplica? Ou você está curioso para saber se existem outros limites em nossa capacidade de medir, além do princípio da incerteza?
Comentários
- Eu só estava perguntando porque foi perguntado em um teste e fiquei curioso para saber a resposta depois de fazer o teste. Eu sei que o princípio da Incerteza lida com energia e tempo, e também com posição e momento. Então pensei que se hipoteticamente medíssemos a posição com certeza exata, estaríamos completamente incertos sobre sua posição, portanto, completamente incertos sobre sua velocidade. Tudo que eu queria saber era se a incerteza sobre a posição garante a incerteza sobre a velocidade
- Se ignorarmos os efeitos relativísticos, então a velocidade e o momento são diretamente proporcionais entre si com a partícula ‘ s massa de repouso como a constante de proporcionalidade, então, se você conhece uma exatamente, obtém a outra gratuitamente.
Resposta
Se em sua teoria o operador de momentum e o operador de velocidade são proporcionais um ao outro, então sim. Saber o valor próprio de um significa conhecer o outro. É sempre o caso com qualquer função de um operador “conhecido”.
Comentários
- I ‘ estou em Física básica 3 na Georgia Tech, considerando-a uma opção, então ‘ não fui tão longe. Eu ‘ terei certeza de olhar para isso
Resposta
Os autovalores da velocidade da equação de Dirac são $ \ pm c $. Isso é bem conhecido desde que a equação foi encontrada; veja o livro de Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.,”, Oxford University Press, Oxford 1958, Capítulo XI “Relativistic Theory of the Electron”, Seção 69, “The motion of a free electron”, página 262 . Costumava ser um fato comumente ensinado na mecânica quântica, mas eu entendo os votos negativos, agora é possível obter um PhD em física sem saber a menor coisa sobre o seguinte cálculo bastante elementar. Em parte, uma vez que isso não é mais ensinado, a derivação tem reaparecido recentemente na literatura, por exemplo, veja: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Quiral oscilações em termos do efeito zitterbewegung / hep-th / 0701091 , em torno da equação (11).
Começamos observando que a velocidade é a taxa de tempo de mudança de posição e que você pode definir a taxa de tempo de mudança de posição usando o comutador:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Se o acima parecer mágico para você, leia a entrada da Wikipedia em Teorema de Ehrenfest “ que afirma o princípio e dá a situação idêntica para a mecânica quântica não relativística: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ e assim $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (para o caso não relativístico) . Assim, para o modelo de elétron não relativístico, é possível medir simultaneamente a velocidade e o momento; sua constante de proporcionalidade é a massa. Mas com a relatividade a proporcionalidade não acontece então a situação é diferente.
Para um estado ser um autoestado de velocidade requer que:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definiu o hamiltoniano de partícula livre como $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. Na notação moderna, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ e $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, enquanto $ p $ é o operador de momento usual.
Observe que o a única coisa que não comuta com $ \ hat {x} $ é a componente x do operador momentum, que dá $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Assim, o acima se reduz a:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Usando a escolha da wikipedia de representação da matriz gama, temos: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Os valores próprios são obtido resolvendo o polinômio característico . Ou seja, calcule o determinante da matriz e defina-o como zero: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Deixo como um exercício para o leitor mostrar que existem duas raízes reais, $ \ pm c $ cada um com ordem dois.
As quatro soluções para o problema do autovalor da velocidade para a equação de Dirac correspondem ao elétron e pósitron direito e esquerdo. Ou seja, os estados próprios de velocidade da equação de Dirac são precisamente os estados esquerdo e direito usados para representar férmions no modelo padrão .
Comentários
- Existem dois problemas separados que podem estar causando downvotes (eu não ‘ ainda não votei, corrija). Primeiro, o Hamiltoniano de Dirac está em uma imagem desacreditada de uma única partícula da equação de Dirac, onde x é um operador que descreve a posição do elétron. Na imagem apropriada da teoria de campo, os estados próximos de Fock têm um momento que é pe uma velocidade que é p / E em um pacote de ondas, e as duas quantidades podem ter valores simultâneos (mais ou menos, porque as partículas são não-locais). O outro problema é que a equação que você dá para os autovalores da velocidade tem quatro soluções, (c, -c, ic, -ic).
- Quanto ao problema com o campo teoria versus QM vai, os estados próprios de velocidade do elétron estão relacionados a zitterbewegung (zbw), que teve um ressurgimento recentemente devido à pesquisa em física do estado sólido.Portanto, ‘ m não tenho certeza de que ‘ está desacreditado, por exemplo, veja a discussão sobre zbw e autoestados de velocidade em Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Ok, eu ‘ m corrigindo o cálculo do valor próprio; Eu estraguei o determinante.
- Eu não ‘ não acho que ‘ está completamente desacreditado, só precisa de uma discussão — o zbw é uma propriedade de estados de pósitrons misturados com estados de elétrons na imagem de uma única partícula, é o elétron ziguezagueando para frente e para trás no tempo na descrição de Feynman. É ‘ é físico, mas apenas na forma de Feynman de dinâmica de partículas, não tanto na forma de teoria de campo. Tenho certeza de que esse é o motivo pelo qual muitas pessoas automaticamente votam negativamente nas discussões de partícula única de Dirac eqn. Não ‘ não acho que seja um absurdo, contém muita física, mas requer uma discussão cuidadosa.
Resposta
O argumento de que o Princípio da Incerteza de Heisenberg proíbe que possamos saber os valores exatos de momento e velocidade de uma partícula simultaneamente já está desacreditado no antigo livro de Feynman sobre Quantum Eletrodinâmica.
Dois observáveis podem ser determinados simultaneamente se os operadores comutarem. Para velocidade e momento, os operadores comutam $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; eles fazem mesmo em a teoria da função de onda de Dirac com seus efeitos Zitterbewegung.