Estou procurando uma explicação simples da implicação de ter preferências homotéticas / não homotéticas em relação às preferências dos consumidores “ao consumir bens.
Comentários
- A curva de oferta de renda é linear se e somente se as preferências do consumidor forem homotéticas.
Resposta
Do ponto de vista matemático, se a função $ f (x, y) $ for homogênea (de qualquer grau), e $ g ( ) $ é uma função cuja primeira derivada está em todo lugar diferente de zero, então a função
$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$
é homotético. Em economia, geralmente impomos algo mais restritivo, a saber, que $ g “> 0 $. Mas isso torna uma função homotética uma transformação monotônica de uma função homogênea. Agora, funções homogêneas são um subconjunto estrito de funções homotéticas: nem todas as funções homotéticas são homogêneas.
Portanto, nem todas as transformações monotônicas preservam a propriedade de homogeneidade de uma função de utilidade . O exemplo mais simples é o utilitário Cobb-Douglas. É homogêneo de grau um. Em uma estrutura de utilidade ordinal, estamos ok com transformações monotônicas, então podemos considerar o logaritmo natural disso. Tudo bem, mas o logaritmo natural não preservará a homogeneidade. No entanto, será homotético.
A propriedade fundamental de uma função homotética é que seu caminho de expansão é linear (esta é uma propriedade também de funções homogêneas e, felizmente, prova ser uma propriedade da classe mais geral de funções homotéticas).
Na teoria do consumo, isso significa que, mantendo os preços ou a razão de preços constantes, se variarmos a renda do consumidor, no plano $ (x, y) $ o ponto de tangência da restrição de renda com a curva de indiferença viável mais alta sempre refletirá uma razão fixa $ x / y $. Isso, por sua vez, implica que as despesas para cada bem crescem todas à mesma taxa que a renda e, portanto, as parcelas das despesas permanecem constantes para toda a faixa de renda (sempre para uma determinada razão de preços). Embora isso possa parecer restritivo, na verdade, foi demonstrado que as preferências homotéticas não impõem quaisquer restrições especiais em agregado demand (essencialmente devido ao vetor de dotação ser arbitrário e independente de preferências, o que bagunça ou libera as coisas).
Comentários
- Ótima resposta. Você pode expandir sua última frase, onde menciona que as preferências homotéticas não impõem nenhuma restrição especial ao AD. Com pouco conhecimento sobre o assunto, parece-me que assumir preferências homotéticas vai contra a evidência empírica da Lei de Engel ' ou que a elasticidade-renda da demanda varia entre os bens. Ao desconsiderar essa evidência, não ' estaríamos afetando qualquer construção razoável de AD?
- @StatsScared Obrigado. Você postou uma pergunta sobre o assunto, economics.stackexchange.com/q/10629/61 , que já gerou respostas interessantes. Se eu tiver algo a acrescentar, vou postar lá.