Encontre h [n] usando propriedades DTFT

Enquanto isso é feito pelo seu dever de casa de admissão (e bastante básico), vou morder. Lembre-se da definição de DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

E lembre-se da definição da resposta de frequência $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

onde $ x [n ] $ é a entrada para o sistema e $ y [n] $ é sua saída. Combine estas duas equações:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Agora, execute o DTFT inverso em ambos os lados da equação. Por definição, $ X (\ omega) $ e $ x [n] $ são um par de transformação; da mesma forma para $ Y (\ omega) $ e $ y [n] $. Para os outros dois termos, lembre-se da propriedade de time-shifting da DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

que pode ser mostrado facilmente a partir da definição do DFT. Usando esta propriedade, o inverso da equação se transforma para a especificação de equação de diferença para o sistema:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Esta é a definição de um filtro recursivo, que são geralmente IIR; esse é o caso para este. Encontrar a resposta ao impulso é fácil; deixe $ x [n] = \ delta [n] $ e descubra que a saída do sistema é:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

O acima é plotado para $ a = 0,99 $. Deve-se observar que o sistema só é estável para $ | a | \ le1 $.

Comentários

• I ' Tentamos calcular a resposta ao impulso, mas não consegui. Você poderia mostrar como ' é feito? obrigado.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Visto que a resposta ao impulso se estende a $ \ infty $, este é um filtro IIR. JasonR afirma em sua resposta que o filtro é estável somente se $ | a | < 1 $. Na verdade, o filtro é estável quando $ | a | \ leq 1 $, e é instável apenas para $ | a | > 1 $. No entanto, quando $ | a | = 1 $, da fórmula da série geométrica $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, obtemos que $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ é a função de transferência de um filtro FIR (estável) que pode ser descrito como um integrador de curto prazo ou média de curto prazo (com ganho $ 4 $).

Comentários

• Boa derivação alternativa. Eu fixei minha reivindicação de estabilidade em minha resposta também.