Portanto, em $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ temos o produto interno Frobenius dado por $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
que pode ser interpretado como o produto interno euclidiano em $ {\ bf R} ^ {np } $. Meu entendimento é que todos os produtos internos em $ {\ bf R} ^ {np} $ podem ser escritos como $$ a ^ TPb $$ para $ P $ positivo-definido. O melhor que pude fazer ao tentar estender o produto interno Frobenius em $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ é algo na forma $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ para $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ e $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ toda a classificação completa. No entanto, gostaria de saber se isso cobre todos os produtos internos em $ {\ bf R} ^ {np} $, ou se talvez seja mais complexo do que o necessário devido a redundâncias.
Posso encontrar o matriz $ P $ correspondente para qualquer produto interno da matriz específica, tomando a base padrão para $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ e formando a matriz
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
mas eu não sei se a forma geral para um produto interno de matriz que dei acima cobre todas as matrizes definidas positivas $ P $.
Atualização:
versão mais recente desta questão em MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Comentários
- Bem-vindo ao SciComp.SE! Esta é uma pergunta interessante, mas parece muito mais apropriada para math.stackexchange.com . (A menos que haja ' uma conexão com um problema de ciência da computação que eu ' esteja ausente, caso em que ' seria ótimo se você pudesse adicionar isso.)
- @ChristianClason, ele ' está relacionado à otimização em variedades de matriz com métricas Riemannianas, desde Riemannian métricas são produtos internos no espaço tangente. É ' quase certamente avançado demais para o Math.SE, o único outro local apropriado seria o MathOverflow. Na verdade, posso ter encontrado o que considero uma solução que posso postar como uma resposta assim que fizer o trabalho complicado de provar que é uma solução, mas se você ' quiser migrar isso para o MathOverflow Eu ' estou ok com isso. Eu ' adicionarei o contexto de otimização quando tiver uma chance.
- A matriz $ P $ também deve ser simétrica, não apenas definida positivamente.
- @WolfgangBangerth, definido-positivo implica simetria.
- Nem para todos os autores definição positiva implica simetria.
Resposta
Você pode ver um produto interno como uma operação $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, ou seja, é uma função bilinear que (i) retorna um número não negativo, (ii) satisfaz a relação $ f (a, b) = f (b, a) $.
Para os vetores $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $, todas as funções bilineares que satisfazem essas propriedades podem ser escritas como $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ onde $ P $ é simétrico e positivo definido. Para as matrizes $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ vezes p} $, todas essas funções podem ser escritas como $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ onde agora $ P $ é um tensor de classificação 4 que é simétrico no sentido de que $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ e definido positivo no sentido de que $ f (a, a) > 0 $ para todos $ a \ neq 0 $.
Sua pergunta se resume a se cada $ P $ que satisfaz tais condições pode ser escrito em uma forma que resulte dos vetores $ X_i, Y_i $. Eu acredito que a resposta é não. Isto é simplesmente assim porque o (por simplicidade assumindo $ n = p $) simétrico $ P $ tem (assintoticamente) $ n ^ 4/2 $ graus de liberdade, enquanto os $ n $ vetores $ X_i, Y_i $ têm apenas $ 2n ^ 2 $ graus de liberdade. Em outras palavras, não acho que para $ n $ suficientemente grandes, sua abordagem tenha graus de liberdade suficientes.
Comentários
- I realmente acredito que a resposta é sim, eu ' vou repassar esta pergunta sobre estouro de matemática com meus resultados atualizados.
- Sim, seu argumento de que o número de parâmetros aumenta quartil no espaço do produto interno vetorial, enquanto apenas quadraticamente no espaço do produto interno da matriz, é atraente; no entanto, como o espaço é finito, devemos ser capazes de superar isso aumentando $ N $ apropriadamente.
- Minhas desculpas, eu postei uma versão mais recente desta pergunta no MathOverflow, no entanto, ela ' está suficientemente atualizada, achei apropriado para transferir sua resposta para lá ou atualizar sua resposta com base na versão mais recente. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Observe que @ ChristianClason aconselhou para você postar sua pergunta em math.stackexchange.com, não em mathoverflow.net. Esses são dois sites diferentes com propósitos e públicos diferentes.
- @FedericoPoloni sim, eu sei, e se você ler o que escrevi, eu disse a ele que achava que era muito avançado para o Math.SE e que dificilmente conseguiria uma resposta aí.