Estilingue gravitacional máximo

Pode-se obter uma estimativa da ordem de magnitude do velocidade máxima atingível por estilingues gravitacionais sem fazer nenhum cálculo real.

O raciocínio da “física bruta” é o seguinte:

O campo gravitacional dos planetas usados para estilingues precisa ser forte o suficiente para “agarrar” a espaçonave em alta velocidade. Como um planeta não pode “agarrar” uma espaçonave movendo-se mais rápido do que a velocidade de escape do planeta, é impossível lançar uma espaçonave para velocidades além das velocidades de escape planetárias.

Portanto, não importa quantas vezes nossos solares os planetas do sistema se alinham e não importa quantas vezes você consiga realizar um estilingue gravitacional perfeito, você está praticamente limitado a velocidades que não excedem aproximadamente a velocidade máxima de escape no sistema solar (ou seja, 80 km / s ou 0,027% da velocidade da luz , a velocidade de escape de Júpiter).

(Observação: ao trabalhar com trajetórias bem definidas, pode-se refinar o argumento acima e obter todos os fatores numéricos corretos.)

Comentários

• Eu teria que discordar de você. Se você encontrasse um corpo celeste do ângulo certo, ainda seria capaz de ganhar sua velocidade orbital uma vez, quando teria uma excentricidade de 1,4142, o que significa que ela excede a velocidade de escape. Ou você está se referindo ao excesso de velocidade hiperbólica sendo igual à velocidade de escape (o que significaria uma excentricidade de 3), mas isso ainda permitiria um ganho de cerca de 40% da velocidade orbital. Diminui, mas acho que ainda é significativo.
• @fibonatic – Você está discutindo sobre fatores $ 1,4 $ em uma estimativa de ordem de magnitude?
• 1,4 não é uma ordem de magnitude menor qualquer um.

Quanto mais rápido você vai, menos velocidade você pode ganhar teoricamente com o auxílio da gravidade.

A razão para isso é que quanto mais rápido você for, mais difícil será dobrar a órbita. Para provar isso, temos que usar a aproximação cônicas corrigidas , o que significa que dentro de uma esfera órbitas Kepler pode ser usado. A esfera pode ser simplificada para ser infinitamente grande, uma vez que a curvatura da cônica remendada real dificilmente será afetada por isso. Enquanto a excentricidade é baixa (igual ou maior que um, já que terá que ser uma trajetória de escape), a trajetória será capaz de ser dobrada 360 °, revertendo efetivamente a velocidade relativa da espaçonave com o corpo celeste, então a mudança em a velocidade seria o dobro da velocidade relativa, que também é o ganho máximo teórico. Quando a excentricidade aumenta, esse ângulo diminui. Este ângulo pode ser derivado da seguinte equação:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

onde $ r $ é a distância da espaçonave ao centro de massa do corpo celeste, $ a $ é o semi-eixo maior, $ e $ é a excentricidade e $ \ theta $ é a verdadeira anomalia.O semi-eixo maior e a excentricidade devem permanecer constantes durante a trajetória, de modo que o raio seria apenas uma função da anomalia verdadeira que é por definição igual a zero no periapsia e, portanto, a quantidade máxima de flexão será aproximadamente o dobro da anomalia verdadeira em $ r = \ infty $, o que significa

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Quando a excentricidade ficar muito alta, este ângulo se tornará 180 °, o que significa que a trajetória é basicamente uma linha reta.

Existem várias maneiras de alterar a excentricidade. Neste caso, as variáveis relevantes seriam:

• A velocidade de excesso hiperbólica , $ v_ \ infty $, que será igual à velocidade relativa na qual a espaçonave “encontra” o corpo celeste, com isso quero dizer que a esfera dos corpos celestes é muito pequena em comparação com a escala das órbitas dos corpos celestes ao redor do sol, portanto, a velocidade relativa pode ser aproximado com a diferença de velocidade orbital em relação ao sol, aproximado com uma órbita Kepler em um encontro entre os dois ao usar uma trajetória ignorando a interação entre eles.
• A altura do periapsia , $ r_p $, que é basicamente limitado pelo raio do corpo celeste (superfície ou atmosfera externa).
• O parâmetro gravitacional do corpo celeste, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

O parâmetro gravitacional é apenas um dado como corpo celeste específico, uma vez que uma excentricidade inferior é desejável, portanto, o periapsia deve ser definido para seu limite inferior, o raio do corpo celeste. Dessa forma, a excentricidade é apenas uma função do excesso de velocidade hiperbólica e, portanto, da velocidade relativa da espaçonave com o corpo celeste.

Usando um pouco mais de matemática, pode-se mostrar qual seria a mudança na velocidade após tal ajuda de gravidade próxima Para isso, uso um sistema de coordenadas com um vetor unitário paralelo à direção da velocidade relativa do encontro, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, e um vetor unitário perpendicular, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ paralela} + \ sin {\ esquerda (2 \ theta_ \ infty \ direita)} \ vec {e} _ {\ perp} \ direita) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ direita) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Ao plotar esses valores para a Terra, então $ \ mu = 3,986004 \ vezes 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ e $ r_p = 6,381 \ vezes 10 ^ { 6} m $ (usei o raio equatorial mais a altitude na qual o efeito atmosférico pode ser desprezado, 300 km), você obteria os seguintes resultados:

Se você quiser t uma velocidade tão alta quanto possível, então você deseja que essa mudança na velocidade seja na direção de sua velocidade ao redor do sol. Se você tem tempo suficiente e a órbita é excêntrica o suficiente para cruzar várias órbitas de corpos celestes, então há muitas possibilidades, mas assim que você tiver uma trajetória de fuga do sol você basicamente passa por cada corpo celeste no máximo mais tempo.

Se você deseja obter a maior velocidade possível, você pode querer se aproximar do Sol em uma órbita altamente excêntrica, já que sua “superfície” velocidade de escape é $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Comentários

• Olá fibonático, obrigado pela resposta . Eu atualizei a pergunta com dados adicionais, como eu entendo que você só precisa do raio do planeta, peso e velocidade inicial para fazer o cálculo, se você precisar de mais dados, me avise que eu irei buscar para você.
• Então O estilingue gravitacional máximo que poderíamos obter seria 0,002 velocidade da luz google.co.uk/… que nos levaria 2.000 anos para chegar a Alfa Centauri google.co.uk/… Obrigado pela ótima resposta.
• @MatasVaitkevicius Não, já que em 0,002 c próximo à superfície do sol você teria uma velocidade de zero infinitamente longe do sol, ou quando você passasse pela órbita de Netuno você teria desacelerado para 7,7km / s.

Todos vocês estão pensando muito sobre isso. O efeito do estilingue tem tudo a ver com um quadro de referência. Em relação ao corpo que você está se aproximando, o aumento da velocidade de entrada deve ser igual à diminuição da velocidade de saída ou você viola leis simples da física (ou seja, gravitação). Da perspectiva do sistema solar , você terá um ganho líquido de velocidade se se aproximar de um planeta na direção certa, caso contrário, você terá uma redução na velocidade líquida após sair.O aumento teórico da velocidade máxima na saída é, portanto, uma função da velocidade do corpo hospedeiro (estilingue) no quadro de referência e do vetor de abordagem.