O teorema de Feynman-Kac afirma que para um processo Ito da forma $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ existe uma função mensurável $ g $ tal que $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ com uma condição de contorno apropriada $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Também sabemos que $ g (t, x) $ tem a forma $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Isso significa que posso precificar uma opção com função de payoff $ h (x) $ em $ T $ resolvendo a equação diferencial sem levar em conta o processo estocástico.
Existe uma explicação intuitiva de como é possível modelar o comportamento estocástico do processo Ito por uma equação diferencial, mesmo que a equação diferencial não tenha um componente estocástico?
Comentários
- Dentro da expectativa, você deve ‘ colocar $ h (X_T) $ no lugar de $ h (X_t) $ ?
Resposta
Martingales + Markoviano
Aqui está a motivação. Expectativas condicionais são martingales pela propriedade da torre de expectativas condicionais (um exercício fácil de mostrar). Suponha que $ r = 0 $, pelo teorema de precificação neutra ao risco $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ é o preço de qualquer derivada título com $ X $ como ativo subjacente e função de pagamento $ h $ assumindo, por enquanto, que o título subjacente e o próprio derivado não pagam fluxos de caixa intermediários. Em um cenário markoviano, deve ser o caso em que o preço do derivado é uma função mensurável do preço atual do ativo e do tempo até o vencimento apenas, digamos uma função $ g (t, x) $. Então, pelo lema de Ito “$ d (g (t, x)) = \ ldots $. Como $ g $ é um martingale (deslocado), o termo de deriva deve ser igual a zero . condição de contorno não vem de nenhuma arbitragem, veja isso observando o que é $ g (T, x) $ da definição dada em primeiro lugar (lembre-se da mensurabilidade ao tomar a expectativa condicional).
Comentários
- Obrigado. O que é $ \ mathscr {F} _t $?
- É uma álgebra sigma de uma filtragem. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – complementa muito bem minha resposta +1
- @Raphael – pense em $ \ mathscr F_t $ como a informação disponível até o momento $ t $. A barra vertical mostra ” fornecida ” para que quando você escrever essa expectativa, qualquer coisa antes disso, você ‘ não está levando nenhuma expectativa e ela pode sair da mesma forma que uma constante faria. Como $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Há uma explicação relativamente boa da expectativa condicional neste livro.
Resposta
O teorema de Feynman-Kac faz sentido principalmente em um contexto de preços. Se você sabe que alguma função resolve a equação de Feynman-Kac, você pode representar sua solução como uma expectativa em relação ao processo. ( confira este documento )
Por outro lado, uma função de precificação resolve o FK-PDE. Assim, muitas vezes, alguém tentaria resolver o PDE para obter uma fórmula de precificação de formulário fechado. ( confira isso documento começando com a página 22 )
Você não usaria o Feynman-Kac para simular um processo estocástico. Por outro lado, você pode usar um processo estocástico para encontrar uma solução para o FK-PDE ( veja aqui )
Editar 26.02.2014: Encontrei um documento que tenta explicar a conexão entre a densidade de transição e o FK-PD ( veja aqui começando com a página 5 )
Também há uma conexão entre a FK-Formula e as equações de Sturm-Liouville que podem ser usadas para a decomposição de caminhos brownianos. ( veja este documento )
Comentários
- Obrigado pelos links! Sua postagem explica várias aplicações e usos para o teorema de Feynman-Kac. Meu principal interesse neste ponto é entender por que o teorema é verdadeiro, ou seja, a intuição por trás do teorema.
- Eu sugeriria a prova aqui: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Ler as provas frequentemente ajuda a entender como um teorema passa a existir. Ou você está interessado em uma explicação do ponto de vista dos Phyiscs?
Resposta
A maneira como eu penso é que o PDE descreve o fluxo de uma distribuição de probabilidade dependente do tempo. O processo estocástico descreve as realizações individuais (caminhadas aleatórias com um desvio), mas se você executasse um grande número delas, construiria uma distribuição.
O PDE diz como essa distribuição muda no tempo (primeiro termo) devido à deriva determinística (o segundo termo) e difusão (o terceiro termo, que é a ligação entre “muitos caminhantes aleatórios” e a propagação distribuição de probabilidade que descreve o quão longe eles “chegaram, em média). Normalmente, a distribuição de probabilidade começa como uma função delta devido à condição inicial conhecida.
Comentários
- Estou um pouco confuso. Temos o PDE da função de precificação $ g (t, x) $ além da deriva e da volatilidade, não há muita informação que você possa obter do FK-PDE com relação à distribuição
Resposta
Vamos abordar esta resposta em duas etapas.
Primeiro, Acho bastante intuitivo que para um dado PDE estocástico exista um PDE determinístico que evolui a densidade para um momento posterior. Esta equação é a equação direta de Kolmogorov ou Fokker-Plank. Por que é intuitivo? Também se sabe a distribuição futura de um movimento browniano (por definição), por que isso deveria mudar para um termo estocástico mais complexo?
Em segundo lugar, uma vez que você obteve a equação direta, é “uma questão de matemática também derivar uma versão reversa dele. Esta é a equação de Feynman-Kac, e ela propaga uma distribuição para trás no tempo.