Existe uma maneira de calcular o tempo que um objeto em queda leva para atingir a velocidade terminal? [duplicar]

Um objeto em queda não atinge a velocidade terminal; ele se aproxima da velocidade terminal assintoticamente de acordo com a fórmula $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Aqui $ m $ é a massa do objeto, $ g $ é a aceleração devido à gravidade, $ \ rho $ é a densidade do fluido através do qual o objeto é caindo, $ A $ é a área projetada do objeto e $ C_d $ é o coeficiente de arrasto .

Portanto, $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ é a velocidade terminal e $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ é a escala de tempo em em que a velocidade terminal é aproximada de acordo com $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ Em $ t = \ tau $ o objeto está a 76% da velocidade terminal. Em $ t = 2 \ tau $ , o objeto está a 96% da velocidade terminal. Em $ t = 3 \ tau $ , está a 99,5% da velocidade terminal.

Comentários

• Observe que $ \ tanh x \ approx 1 – 2 e ^ {- 2x} $ para $ x $ grande, então a diferença entre $ v $ e a velocidade terminal diminui aproximadamente exponencialmente com o tempo. Essa pode ser uma regra prática útil; se $ v $ estiver 1% abaixo de $ v_t $ em algum momento, e 0,5% abaixo de $ v_t $ 10 segundos depois, então $ v $ ficará 0,25% abaixo de $ v_t $ 10 segundos depois disso.