Explicação e compreensão do ' do leigo sobre as ' equações de campo

As equações de Einstein podem ser resumidas vagamente como a relação principal entre a matéria e a geometria do espaço-tempo . Vou tentar dar uma descrição qualitativa o que cada termo na equação significa. Terei, no entanto, de avisar aos leitores em potencial que esta não será uma resposta curta. Além disso, vou evite tentar derivar as equações de maneira ” elementar “, já que certamente não conheço nenhuma.

Matéria

No lado direito da equa ção, o mais importante é a aparência do tensor de energia-momento $ T _ {\ mu \ nu} $ . Ele codifica exatamente como a matéria – entendida em um sentido amplo, ou seja, qualquer meio de transporte de energia (ou massa, momento ou pressão) – é distribuída no universo. Para entender como interpretar os índices subscritos de $ T $ , veja minha explicação do tensor métrico abaixo.

Ele é multiplicado por algum elemento fundamental constantes da natureza $ \ Big ($ o fator $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ , mas isso não tem nenhuma importância crucial: pode-se vê-los como ferramentas de contabilidade que controlam as unidades das quantidades relacionadas pela equação. Na verdade, os físicos profissionais normalmente tomam a liberdade para redefinir nossas unidades de medidas para simplificar a aparência de nossas expressões, eliminando constantes incômodas como esta. Uma opção em particular seria escolher ” unidades reduzidas de Planck “, em que $ 8 \ pi G = 1 $ e $ c = 1 $ , de modo que o fator se torne $ 1 $ .

Diferencial g eometria

No lado esquerdo das equações de Einstein, encontramos alguns termos diferentes, que juntos descrevem a geometria do espaço-tempo. A relatividade geral é uma teoria que usa a estrutura matemática conhecida como geometria (semi-) Riemanniana . Neste ramo da matemática, estuda-se espaços que são em certo sentido lisos , e que são equipados com uma métrica . Vamos primeiro tentar entender o que essas duas coisas significam.

A propriedade de suavidade pode ser ilustrada pelo exemplo intuitivo (e historicamente importante!) De uma superfície lisa (bidimensional) no espaço tridimensional comum . Imagine, por exemplo, a superfície de uma bola de futebol idealizada, ou seja, uma esfera 2. Agora, se alguém focar sua atenção em um pequeno pedaço da superfície (segure a bola contra seu próprio rosto), parece que a bola é bem plana. No entanto, obviamente não é globalmente plana. Sem levar em conta o rigor matemático, podemos dizer que os espaços que têm essa propriedade de aparecer localmente planos são suaves em algum sentido. Matematicamente, podemos chamá-los de múltiplos. Obviamente, uma superfície globalmente plana, como uma folha infinita de papel, é o exemplo mais simples de tal espaço.

Na geometria Riemanniana (e geometria diferencial mais geralmente) estuda-se tais espaços lisos (variedades) de dimensão arbitrária. Uma coisa importante a perceber é que eles podem ser estudados sem imaginá-los inseridos em um espaço de dimensão superior, ou seja, sem a visualização que pudemos usar com o futebol, ou qualquer outra referência ao que pode ou não estar ” fora ” do próprio espaço.Diz-se que se pode estudá-los, e sua geometria, intrinsecamente .

A métrica

Quando se trata de estudar intrinsecamente a geometria de variedades, o principal objeto de estudo é a métrica (tensor). Os físicos normalmente o denotam por $ g _ {\ mu \ nu} $ . Em certo sentido, isso nos dá uma noção de distância no múltiplo. Considere uma variedade bidimensional com métrica e coloque uma ” grade de coordenadas ” nela, ou seja, atribua a cada ponto um conjunto de dois números, $ (x, y) $ . Então, a métrica pode ser vista como uma matriz $ 2 \ times 2 $ com $ 2 ^ 2 = 4 $ entradas. Essas entradas são rotuladas pelos subscritos $ \ mu, \ nu $ , que podem ser escolhidos para serem iguais a $ x $ ou $ y $ . A métrica pode então ser entendida simplesmente como uma matriz de números:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Também devemos digamos que a métrica seja definida de forma que $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , ou seja, é simétrica em relação aos seus índices. Isso implica que, em nosso exemplo, $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Agora, considere dois pontos que estão próximos, de modo que a diferença nas coordenadas entre os dois seja $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Podemos denotar isso em notação abreviada como $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ onde $ \ mu $ é $ x $ ou $ y \;, $ e $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ e $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Então definimos o quadrado da distância entre os dois pontos, chamado $ \ mathrm {d} s \;, $ como

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Para ter uma ideia de como isso funciona na prática, vamos dar uma olhada em um infinito de dois espaço plano dimensional (ou seja, o folha de papel mencionada acima), com duas ” padrão ” coordenadas planas $ x, y $ definido nele por uma grade quadrada. Então, todos nós sabemos do teorema de Pitágoras que

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Isso mostra que, neste caso, a métrica natural no espaço bidimensional plano é dada por

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Agora que sabemos como ” medir ” distâncias entre pontos próximos , podemos usar uma técnica típica da física básica e integrar pequenos segmentos para obter a distância entre pontos que são removidos posteriormente:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

O ge A neralização para dimensões superiores é direta.

Tensores de curvatura

Como tentei argumentar acima, o tensor métrico define a geometria de nossa variedade (ou espaço-tempo, no caso físico) . Em particular, devemos ser capazes de extrair dela todas as informações relevantes sobre a curvatura da variedade. Isso é feito construindo o tensor de Riemann (curvatura) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , que é um objeto muito complicado que pode, em analogia com a visualização da matriz da métrica, ser considerado uma matriz quadridimensional, com cada índice podendo assumir $ N $ valores se houver $ N $ coordenadas $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ no manifold (ou seja, se estivermos lidando com um $ N $ espaço dimensional). É definido puramente em termos de métrica de uma forma complicada que não é muito importante por agora. Este tensor contém praticamente todas as informações sobre a curvatura da variedade — e muito mais do que nós, físicos, estamos interessados. No entanto, às vezes é útil dar uma boa olhada no tensor de Riemann se alguém realmente quiser saber o que está acontecendo.Por exemplo, um tensor de Riemann desaparecendo em todos os lugares ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garante que o espaço-tempo é plano. Um caso famoso em que tal coisa é útil é na métrica Schwarzschild que descreve um buraco negro, que parece ser singular no raio de Schwarzschild $ r = r_s \ neq 0 $ . Após a inspeção do tensor de Riemann, torna-se aparente que a curvatura é realmente finita aqui, portanto, trata-se de uma singularidade de coordenada em vez de uma ” real ” singularidade gravitacional.

Pegando certas ” partes de ” o tensor de Riemann, podemos descartar algumas das informações que ele contém em troca de ter que lidar apenas com um objeto mais simples, o tensor de Ricci:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Este é um dos tensores que aparecem nas equações de campo de Einstein. o segundo termo das equações apresenta o Ricci escalar $ R $ , que é definido por mais uma vez contração ( uma palavra bonita para ” somando todos os valores de índice possíveis de alguns índices “) o tensor de Ricci, desta vez com o inverso métrica $ g ^ {\ mu \ nu} $ que pode ser construída a partir da métrica usual pela equação

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {and} 0 \ \ text {caso contrário} $$

Como prometido, o escalar de Ricci é a contração do tensor de Ricci e o inverso métrica:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ pontos x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Claro, o escalar de Ricci mais uma vez contém menos informações do que o tensor de Ricci, mas é ainda mais fácil de manusear . Basta multiplicar por $ g _ {\ mu \ nu} $ mais uma vez resulta em uma matriz bidimensional, assim como $ R _ {\ mu \ nu} $ e $ T _ {\ mu \ nu} $ são. A combinação particular de tensores de curvatura que aparece nas equações de campo de Einstein é conhecida como o tensor de Einstein

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

A constante cosmológica

Há um termo que deixamos de fora até agora: o termo da constante cosmológica $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Como o nome sugere, $ \ Lambda $ é simplesmente uma constante que multiplica a métrica. Esse termo às vezes é colocado do outro lado da equação, já que $ \ Lambda $ pode ser visto como algum tipo de ” conteúdo de energia ” do universo, que pode ser mais apropriadamente agrupado com o resto da matéria codificada por $ T _ {\ mu \ nu} $ .

A constante cosmológica é principalmente de interesse porque fornece uma possível explicação para a (in) famosa energia escura que parece ser responsável por certos importantes observações cosmológicas. Se a constante cosmológica é realmente diferente de zero em nosso universo é uma questão em aberto, assim como a explicação do valor que as observações sugerem para ela (o chamado problema da constante cosmológica também conhecida como ” a pior previsão da física teórica já feita “, um dos meus interesses pessoais).

PS. Conforme apontado nos comentários, se você gostou disso, você também pode gostar de ler esta pergunta e as respostas a ela, que abordam aquele outro importante equação da relatividade geral, que descreve o movimento de ” partículas de teste ” em espaços-tempos curvos.

A equação de Einstein relaciona o conteúdo da matéria (lado direito da equação) à geometria (lado esquerdo) do sistema. Pode ser resumido com “a massa cria geometria e a geometria atua como a massa”.

Para obter mais detalhes, consideremos o que é um tensor. Um tensor de dois índices (que é o que temos na equação de Einstein) pode ser pensado como um mapa que leva um vetor para outro vetor. Por exemplo, o tensor tensão-energia pega um vetor de posição e retorna um vetor de momento (matematicamente, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, e estou misturando vetores e co-vetores em todo o lugar para simplificar a discussão). A interpretação é que o lado direito da equação de Einstein nos diz o momento que está passando por uma superfície definida pelo vetor posição.

O lado esquerdo também pode ser interpretado desta maneira. A curvatura de Ricci $ R _ {\ mu \ nu} $ pega um vetor de posição e retorna um vetor nos informando o quanto a curvatura está mudando através da superfície definida por $ \ vec {x} $. O segundo e o terceiro termos, ambos tendo fatores da métrica $ g _ {\ mu \ nu} $, nos dizem o quanto as medidas de distância são alteradas ao viajar ao longo do vetor. Existem duas contribuições para essa mudança na distância – a curvatura escalar $ R $ e a $ \ Lambda $. Se $ R _ {\ mu \ nu} $ é “curvatura em uma única direção”, então $ R $ é a “curvatura total”. $ \ Lambda $ é uma constante que nos diz quanta energia inata o espaço vazio possui, fazendo com que todas as distâncias fiquem maiores para $ \ Lambda > 0 $.

Então , lendo a equação da direita para a esquerda, “a equação de Einstein nos diz que o momento (massa em movimento) causa a curvatura e uma mudança na forma como as distâncias são medidas.” Lendo da esquerda para a direita, “a equação de Einstein nos diz que a curvatura e a mudança a distância age exatamente como a massa em movimento. “

Comentários

• Uau – ótima explicação simplificada.
• @levitopher Por que ‘ s chamados ” estresse ” em energia do estresse?
• É isso estava OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Passo a passo derivação das Equações de campo de Einstein (EFE) em meu blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Significado de EFE (por Wheeler): “O espaço-tempo diz à matéria como se mover, a matéria-energia diz ao espaço-tempo como curvar”

Palavras simples para EFE: “Geometria” = “Curvatura” (sem torção na Relatividade Geral implica que a energia-momento é simétrica, como mostra ser o caso da métrica, tensor de Ricci e tensor de Einstein).

Um significado mais sério é o seguinte:

-Lado esquerdo: O tensor de Einstein é feito de duas (três se você contar o termo cosmológico) peças. Eles medem a curvatura causada por uma métrica de espaço-tempo local não ser constante (a métrica de Minkowski é um espaço-tempo plano, a gravidade ligada implica que a métrica é um campo, ou seja, dependente das coordenadas locais de espaço-tempo), e isso implica uma curvatura local medido pelo escalar de curvatura e o tensor de Ricci, que combinados da maneira que Einstein (e Hilbert) fizeram, fornece uma corrente sem divergência (isto é, conservação de energia-momento ao igualar ao lado direito).

-Lado da mão direita: energia-momento dos campos, fazendo com que o espaço-tempo se deforme / curva / curva. Você pode adicionar a este lado o termo cosmológico, a seguir apelidado de energia escura … Isso significa que a energia escura é de alguma forma (com algum cuidado) a energia do espaço-tempo do vácuo. E pensamos que não é apenas diferente de zero, mas o principal ingrediente cósmico que faz a matéria-energia no momento (cerca de 70%, os satélites WMAP + PLANCK parecem concordar com isso …).