Qual é a forma mais geral da equação da onda? É $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Por exemplo, pode $ \ frac {\ parcial ^ 2 \ Psi} {\ parcial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ ser uma equação de onda? Se sim, qual é a solução nesse caso.
Resposta
Não tenho certeza do que você quer dizer com $ cte $ , mas estou supondo que seja alguma constante, mas posso estar interpretando mal
Freqüentemente falamos sobre duas classes de equações diferenciais, homogêneas e não homogêneas. Essa distinção é a raiz de sua pergunta, \ begin {equation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {equation} é a forma homogênea da equação de onda, enquanto \ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} é a equação de onda não homogênea ($ u (\ vec {r}, t) $ também pode ser constante se quisermos). Isso surge por todo o lugar. Um exemplo é que a radiação eletromagnética na presença de cargas e correntes é governada pela equação de onda não homogênea, a forma homogênea só é válida quando $ \ rho = 0 $ e $ \ vec {J} = 0 $. Dependendo de para quem você perguntar, acho que a maioria das pessoas ainda diria o inhom equação de onda ogênica é uma equação de onda, mas depende do gosto, pois suas soluções podem acabar tendo um caráter muito diferente das homogêneas.
Em geral, não há muito que eu possa dizer sobre essas soluções, já que elas “dependem muito da forma de $ u $, embora eu tenha certeza de que algumas pesquisas no Google fornecerão muitos exemplos.
Comentários
- Perfeito. E a equação da onda amortecida? Qual é a sua forma?
Resposta
Mason lidou com a distinção entre equações diferenciais homogêneas e não homogêneas, mas se uma está falando da forma mais geral possível da equação de onda, é,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
onde ambos os campos são ranqueados $ (m, n) $ tensores, atuados pelo operador de Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ cuja ação nos tensores depende tanto da métrica quanto de sua classificação. Para um campo escalar com métrica $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, ele se reduz à forma mais familiar da equação de onda, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (O texto acima também pode ser reformulado na linguagem das formas diferenciais.)
No entanto, de certa forma, isso não cobre todas as possibilidades. Por exemplo, na relatividade geral, para uma perturbação $ h_ {ab} $ da métrica, a mudança de primeira ordem na curvatura é,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
que é entendido como o “operador de onda” do espaço curvo na literatura porque certamente admite soluções de onda, mas claramente não é equivalente à equação de onda acima, pois contém outros termos envolvendo tensores de curvatura. Portanto, a “forma mais geral” da equação de onda não é algo que possamos realmente escrever, a menos que sua ideia seja estritamente $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
