Lei de Gauss na gravitação

Sim, você pode usar a lei de Gauss para a gravidade.

$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$

ou

$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$

onde $ \ vec {g} $ é o campo gravitacional (equivalentemente, aceleração devido à gravidade), $ \ rho $ é a densidade de massa e $ M_ \ mathrm {enc} $ é a massa total envolvida pela superfície gaussiana.

Quando você faz a comparação De acordo com a lei de Gauss para campos elétricos, você pode ver como as constantes funcionam da maneira que funcionam:

$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$

so $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.

Um uso comum da lei de Gauss para a gravidade é determinar a força do campo gravitacional em uma determinada profundidade dentro da Terra. É muito semelhante ao cálculo do campo elétrico dentro de uma esfera isolante carregada.

Comentários

• Na minha postagem original eu baguncei as constantes … corrigido
• Na verdade, a correspondência próxima entre o fluxo do campo no tratamento de ' para Newton ' de Einstein s para um campo fraco esfericamente simétrico pode ser demonstrado usando esta ' abordagem da Lei de Gauss.

A Lei de Gauss para a Gravidade diz basicamente que o fluxo gravitacional total que emana de uma esfera envolvendo a Terra é $ 4 \ pi GM $ .

Agora divida isso pela superfície total da esfera $ 4 \ pi R ^ 2 $ com $ R $ o raio da Terra.

O resultado é $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ dando o fluxo gravitacional densidade. Se você calcular o resultado numérico, obterá $ 9,81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .