Melhor maneira de aprender trigonometria

Os contornos de Schaum são muito práticos em geral e baratos. Bem adequados para um aluno mais velho. as respostas estão logo após os problemas versus no final. E você obtém todas as respostas, não o gyp ímpar / par. Portanto, adequado para autoaprendizagem.

Eu gosto deste, de modo geral e possuo: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

É da década de 1960, então a linguagem não é arcaica, mas não é “novo”. Não tenho certeza de qual benefício além do idioma você deseja das versões mais recentes, mas se você quiser uma mais recente, eles têm uma 4ª edição do College Math que você pode obter em seu lugar.

Observação, este é um pré-cálculo geral livro (e provavelmente o que você precisa). Mas se você quiser apenas uma cartilha de trigonometria, Schaum também tem isso. Obviamente, mais problemas de trigonometria no livro de trigonometria do que no livro de pré-cálculo (que tem todos os cursos normais do ensino médio cobertos).

Ps. seria mais fácil aconselhá-lo se tivesse nos contado quais livros falharam com você. Como se eu escrevesse uma longa resposta em vão?

Pss Não tenho certeza de por que trigonometria é um obstáculo tanto para as pessoas. Mas eu recomendo primeiro pensar sobre o pecado, o cos e coisas assim no contexto do círculo unitário, não as proporções dos lados dos triângulos. É apenas um conceito um pouco mais simples e sem uma proporção para acompanhar.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn torna isso um pouco mais complexo falando sobre proporções. Mas quando eu aprendi, o grande benefício foi uma primeira introdução sem proporções … apenas os eixos xey do círculo unitário.

Comentários

• Obrigado pela resposta! E você ‘ está certo, eu deveria ter mencionado quais livros. Os 3 livros are Trigonometry, 5ª edição de Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies de Mary Sterling e College Trigonometry de Stitz e Zeager, 2013. Eu ‘ estarei começando o pré-cálculo no uni assim que o verão terminar e eu ‘ tenho certeza que ‘ ficarei confortável com trigonometria em breve. Espero aprender o suficiente em o tempo médio para terminar meu primeiro curso sem muitos solavancos no caminho.
• Certifique-se de trabalhar muitos problemas. Você pode estar se sentindo ” Eu ‘ não estou entendendo “. Mas se você trabalhar com uma grande quantidade de problemas, eles simplesmente ficarão entalhados em sua cabeça. E trabalhar os problemas significa cobrir a resposta, resolver o problema por completo. Verificando sua resposta. Repetir (inteiramente) quaisquer problemas perdidos desde o início (mesmo para erros de sinal bobos) Trate isso como um treinamento físico para um esporte ou aprender um instrumento musical. Seja diligente.
• @RustyCore Só para ficar claro, estou ‘ estou me transferindo de uma faculdade local. O que me formei na faculdade não estava relacionado com matemática e tinha muito poucos requisitos de matemática, portanto, minha primeira aula de matemática na universidade foi pré-cálculo.
• @guest, eu entendo. Mas acho que Rusty foi presunçoso e rude. Eu ‘ estou plenamente ciente de que obter este diploma provavelmente será o período mais desafiador e estressante da minha vida, mas eu não ‘ realmente quero para me calar só porque ‘ estou tendo dificuldade com um assunto. A maioria das pessoas desiste e diz que eles ‘ não são matemáticos quando enfrentam um obstáculo e se fecham imediatamente para mais matemática ou para o básico que precisam ser atualizados. Eu ‘ estou tentando evitar isso porque fiz exatamente isso nos anos anteriores.
• @Lex_i, você parece um estudante maduro e já tive muitos alunos como você que se destaca. Espero que suas aventuras em matemática lhe tragam alegria.

Talvez uma abordagem visual possa complementar seu estudo? Existem muitos desses recursos disponíveis na web, não em livros didáticos. Por exemplo, Trig intuitivamente :

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          ^{Observação: os rótulos mostram onde cada item “vai até . ”}

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Outro: Círculo da unidade interativa . Outro: Funções de acionamento inverso .

Comentários

• it ‘ um diagrama útil. Eu acrescentaria um aviso de que o conceito de triângulos semelhantes está sendo usado, a fim de evitar confusão.
• Eu acho que o diagrama seria mais útil se mostrasse o ângulo e de quais funções todas as funções são funções . Parece que ‘ foi projetado para lembrar o que você já sabe, não para aprender trigonometria do zero.
• @JessicaB: primeiro, não é meu diagrama: -). 2º, há uma narrativa que o acompanha; não se destina a ficar sozinho. Terceiro, acho útil ver, por exemplo, que $ \ sin \ le \ tan $ e $ \ sec \ ge \ tan $ e $ \ tan $ podem ser ilimitados, etc.
• @ JessicaB: PS. O ângulo é o ângulo no centro do círculo, cujo círculo infelizmente é quase invisível em meu instantâneo.
• @JosephO ‘ Rourke Eu sei que você não ‘ para desenhá-lo. E agora sei que o ângulo é o do centro, porque conheço trigonometria. Mas quando me deparei com isso, fiquei muito confuso porque não ‘ t percebi a relação com o ângulo.

Pessoalmente, prefiro uma recomendação de livro que posso baixar ou pegar que [de preferência] não seja antiga e faça não torna a trigonometria uma abordagem intimidante (especialmente aquela que enfatiza a compreensão de provas por trás de propriedades / teoremas).

Não tenho livros para recomendar, mas posso recomendar uma abordagem para fazer trigonometria que facilite a compreensão matemática por cristalizar a fundamento lógico da trigonometria e estrutura algébrica de expressões trigonométricas. Existem dois “níveis” para isso, dependendo se você deseja ir direto para compl ex números ou permanecer dentro da trigonometria real. Em ambos os casos, o foco está em identificar o núcleo intrínseco da trigonometria e reduzir todo o resto a isso.

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Trigonometria real

As principais quantidades são $ \ cos (t) $ e $ \ sin (t) $ , que são $ x $ e $ y $ coordenadas do ponto $ P_t $ no círculo unitário que subtende um arco de comprimento $ t $ no sentido anti-horário do $ x $ -eixo, conforme representado na imagem da wikipedia :

Aqui, o comprimento do arco é medido ao longo do círculo unitário e $ π $ é definido como o comprimento do arco do semicírculo, então $ 2π $ é $ 360 ° $ . (Essa forma de medir ângulos costuma ser chamada de medi-los em ” radianos “, mas pessoalmente acho que é um termo desnecessário.) Observação que $ P_t = P_ {t + 2πk} $ para qualquer inteiro $ k $ , porque $ 2πk $ seria um múltiplo inteiro de rodadas completas. Observe também que aumentar $ t $ move $ P_t $ no sentido anti-horário, enquanto diminui $ t $ move $ P_t $ no sentido horário. Relacionado a isso, $ P _ {- t} $ é o reflexo de $ P_t $ em $ x $ -axis.

Observe que os sinais de $ \ cos (t) $ e $ \ sin (t) $ correspondem exatamente aos sinais de $ x $ e $ y $ coordenadas do ponto no círculo. (Não dê ouvidos às pessoas que lhe dizem para memorizar algo para determinar qual deles é positivo em qual quadrante.)

E apenas por definição, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ para cada $ t $ real. Este é o primeiro fato algébrico fundamental .

Em seguida, $ \ tan (t) $ é definido como $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historicamente, também definimos $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ e $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ e $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , mas, francamente, há poucos benefícios em ter tantos quando $ \ cos, \ sin $ por si só é suficiente.) Sempre que você desejar simplificar qualquer expressão trigonométrica envolvendo $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , você provavelmente deve executar a técnica matemática padrão de reescrever na forma canônica , que neste caso significa reescrever em termos de $ \ cos, \ sin $ sozinho, enquanto tomando nota de onde a expressão original não está definida (por exemplo, $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ para qualquer $ t $ somente quando $ t $ não for um múltiplo de $ π $ ).

Os outros fatos algébricos surgem da consideração de matrizes de rotação aplicadas a vetores. (Se você não estiver familiarizado com matrizes como operadores em vetores, leia isto primeiro. Para obter uma introdução aos vetores no espaço euclidiano, consulte aqui .) Seja $ R $ qualquer rotação sobre a origem no plano. Então $ R $ satisfaz três propriedades:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ para quaisquer vetores $ u, v $ (ou seja, somar dois vetores e girar o resultado dá o mesmo que girar os dois vetores primeiro antes de soma-los).
2. Se $ R, S $ são rotações anti-horário dos ângulos $ t, u $ respectivamente, então $ R∘S $ é uma rotação anti-horária do ângulo $ t + u $ .
3. Se $ R $ for uma rotação anti-horária do ângulo $ t $ , então:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ para qualquer $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ para qualquer $ y $ .

Podemos considerar essas propriedades como axiomas (suposição) sobre rotações. Afinal, se $ R $ não os satisfizer, então não chamaríamos $ R $ de rotação para começar com. Para ver por quê, a propriedade (1) captura a intuição de que girar duas hastes conectadas irá girar ambas as hastes pelo ângulo de rotação, preservando onde elas se conectam. A propriedade (2) só é necessária em conjunto com a propriedade (3). Propriedade (3a) segue da definição de $ \ cos, \ sin $ , e propriedade (3b) segue da mesma definição girada $ 90 ° $ no sentido anti-horário.

As propriedades (1) e (3) produzem a forma de matriz de uma rotação 2d:

Se $ R $ for uma rotação anti-horária do ângulo $ t $ , então $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

E usando a propriedade (2) nós get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatriz {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ para qualquer real $ t, u $ .

Multiplicar o produto da matriz à direita e comparar com a matriz à esquerda dá imediatamente o ângulo soma de identidades:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ para qualquer real $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ para quaisquer reais $ t, u $ .

Sempre que você desejar simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas em somas de ângulos, você deve considerar o uso dessas identidades para reduzir a expressão em termos de $ \ cos, \ sin $ com o menor número de ângulos possível.

Na verdade, todos os i trigonométricos dentidades envolvendo apenas operações aritméticas e funções trigonométricas podem ser provadas usando apenas as definições acima e os principais fatos algébricos. Curiosamente, mesmo as propriedades de simetria podem ser provadas algebricamente da seguinte forma.

Dado qualquer $ t $ real:

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [soma angular]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [soma angular]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Continuando com a análise real, precisaríamos dos seguintes fatos, que podem ser tomados como axiomas por enquanto (e justificados separadamente mais tarde):

1. $ \ sin “= \ cos $ .
2. $ \ cos “= – \ sin $ .

Como antes, tudo ca n ser reduzido a estes, então não há necessidade real de memorizar mais nada (embora possa ser conveniente fazê-lo).

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Trigonometria complexa

Pessoalmente, Acho que é melhor ir direto para as funções trigonométricas de valor complexo, se alguém deseja uma base completa e rigorosa para o campo matemático de análise . Um simplesmente define: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ para cada complexo $ z $ (após provando que a soma converge).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ é duas vezes a primeira raiz positiva de $ \ cos $ ( depois de provar que existe).

A motivação é que queremos $ \ exp: \ cc → \ cc $ de forma que $ \ exp “= \ exp $ e $ \ exp (0) = 1 $ , para ser capaz de resolver equações diferenciais lineares gerais, e queremos $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ de forma que $ \ cos “” = – \ cos $ e $ \ sin “” = – \ sin $ e $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ e $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , para ser capaz de resolver o movimento harmônico simples, e a expansão de Taylor nos traz às definições acima para $ \ exp, \ cos, \ sin $ , que podemos provar que convergem em todo o plano complexo. A definição acima de $ π $ é a mais fácil que eu conheço que não depende de nenhuma geometria. (Para obter mais detalhes sobre essa motivação, consulte esta postagem .)

Basta dizer que, com essas definições, podemos provar por análise básica que $ \ exp, \ cos, \ sin $ satisfaz as propriedades motivadoras desejadas, bem como outra propriedade-chave de $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ para qualquer $ z complexo, w $ .

Usando esta propriedade, podemos provar todas as identidades trigonométricas por meio de manipulação algébrica sozinha (e elas valem para variáveis complexas e não apenas variáveis reais).

Por exemplo, dado qualquer $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

No entanto, muitas vezes ainda é mais fácil primeiro provar os mesmos fatos algébricos-chave para $ \ cos, \ sin $ e usá-los para provar outras identidades, em vez de reduzir tudo a $ \ exp $ .

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