Estou tendo problemas com o modelo Ho-Lee para taxas curtas e diferenciar entre como encontrar os valores para o parâmetro livre λ versus usar o modelo para prever taxas futuras.
O modelo Ho-Lee para cada etapa em uma árvore binomial: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Eu li isso para definir o parâmetro livre em cada etapa de uma árvore binomial de recombinação, defina a taxa no estado 0 para a taxa à vista atual (ou seja: taxa à vista de 1 mês) e encontre um valor para lambda que, quando conectado ao modelo, resultará no taxa à vista atual para a próxima etapa de tempo (por exemplo: começando com a taxa à vista de 1 mês no estado 0 e usando uma etapa de 1 mês, o valor correto para lambda quando conectado ao modelo produzirá a taxa à vista atual de 2 meses, etc.).
Isso me confunde. Depois de determinar o valor de lambda para cada etapa de minha árvore, quais entradas eu mudo para usar o modelo com meu bin árvore omial para prever taxas futuras .. ex .: taxa de um mês em um mês, em dois meses, etc.?
Caso minha descrição não seja clara, aqui está um exceto do livro de Bruce Tuckman sobre o assunto.
… encontre λ1 de forma que o modelo produza uma taxa à vista de dois meses igual à do mercado. Em seguida, encontre λ2 de forma que o modelo produza uma taxa à vista de três meses igual à do mercado. Continue dessa maneira até que a árvore termine.
Resposta
Você sabe que o modelo Ho-Lee é representado pelas equações diferenciais estocásticas \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Para implementar nossa árvore binomial, usamos a discretização de Euler. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {alinhar} onde $ Z $ é uma variável aleatória normal padrão. Deixe $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ e expanda a equação, em tempo discreto \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {alinhar} Esta relação mostra que a taxa curta é a soma de um conjunto de termos de deriva não estocástica e um conjunto de termos aleatórios .O preço do título de cupom zero sem arbitragem $ P (t, t + \ Delta t) $ será, portanto, declarado como
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Por exemplo, calcular o preço do título no momento $ n = 2 $, nos dá: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {alinhar} em outras palavras \ começar {alinhar} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} Neste caso, $ r_t $ tem uma distribuição normal, portanto \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Mas \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Pode ser reescrito como: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Esta relação fornece as relações recursivas necessárias para evoluir o modelo Ho-Lee sem arbitragem de taxas curtas. Tomamos um conjunto de preços de títulos e estrutura de volatilidades como entrada para as taxas de curto. Portanto, obtemos a equação evolutiva para representar a árvore binomial do modelo.
Comentários
- Obrigado por sua resposta, embora ' está acima do meu nível de compreensão. Simplificando, eu entendo que o objetivo do modelo é modelar taxas futuras. Eu ' li que definimos os parâmetros livres em cada etapa da árvore de modo que o modelo mostre as taxas spot atuais. Se é assim que sabemos que o modelo está calibrado, quais entradas eu mudaria para poder usá-lo para modelar taxas futuras?