Estou incomodado com a motivação por trás de definir uma quatro velocidades. Em Schutz, Um primeiro curso em Relatividade geral , ele usa o conceito de um vetor tangente em cada ponto de uma linha de mundo de uma partícula dada por $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . E mais tarde ele afirma que
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
A explicação matemática que encontrei para usar o tempo adequado como parâmetro com o qual todos os observadores concordam, mas não consigo perceber quais os problemas que obtemos com ao invés desta definição usamos a relação
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
onde $ t $ é a medida de tempo em algum referencial inercial S.
Comentários
- Não ' acho que você ' faria essa pergunta no espaço euclidiano. Considere uma curva $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Então, pode-se escrever os vetores tangentes como $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. OU podemos seguir sua última sugestão e usar $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. O vetor tangente ainda apontará para o caminho certo, mas não longe r é bem definido e a definição não permite mais que você gire de uma maneira que misture as coordenadas, uma vez que destaca $ x $.
- O livro não explica em algum lugar que a velocidade de quatro está definida dessa forma para que seja um quatro-vetor Lorentz?
- @ jacob1729 pode me dar algum exemplo? Eu ' estou bastante confuso com este tópico
Resposta
@Milan já respondeu aos problemas técnicos de sua definição.
Gostaria de apontar problemas conceituais. Gostaríamos que a velocidade 4 caracterizasse de alguma forma o movimento de um objeto no espaço-tempo. Conceitualmente, faz sentido exigir que tal quantidade dependa apenas das quantidades que têm relação direta com aquele movimento. Portanto, trazer o tempo de algum observador aleatório que não tem nada a ver com o movimento do objeto seria uma decisão conceitualmente estranha. Faz sentido definir a velocidade de 4 como um vetor tangente à linha de mundo do objeto, porque esta entidade matemática está diretamente conectada com e, portanto, também com o movimento dos objetos. Claro, precisamos de alguma parametrização da linha do mundo, o que seria idealmente natural para a própria linha do mundo / movimento e não depende de quaisquer quantidades externas. Como no espaço-tempo, cada objeto tem seus próprios relógios, esta curva é parametrizada naturalmente pelo relógio do próprio objeto, isto é – pelo seu tempo adequado.
Observe que, desta forma, você não precisa falar sobre o grupo de Lorentz. Quando aprendi sobre a velocidade 4 pela primeira vez, a decisão de usar o tempo adequado na derivada me pareceu uma decisão aleatória apenas para fazer algum vetor 4 de Lorentz. Mas na verdade tem razões geométricas mais profundas, como tentei explicar.
Comentários
- Você pode recomendar algum livro da relatividade que explique esses tópicos como você explicou?
- @Lil ' Gravidade não, mas posso lhe dar três livros que se destacam para mim pessoalmente. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitação explica a relatividade geral e geometria diferencial em um nível muito intuitivo – junto com motivações físicas para a maior parte da matemática, e Wald – Relatividade Geral é um ótimo livro para uma abordagem mais formal e geométrica para ver claramente como os conceitos são definidos abstratamente sem a necessidade de sistema de coordenadas. Depois, há Fecko – Geometria diferencial e grupos de Lie para físicos, que considero o melhor livro-texto sobre geometria diferencial.
Resposta
A primeira definição se transforma em quatro vetores: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
A segunda definição se transforma não exatamente como um quatro vetor: $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Isso faz sentido, já que na primeira definição você divide as diferenciais de um vetor quatro (que também se transformam em quatro -vetor) por um escalar (invariante no grupo de Lorentz).