Preciso calcular o número de fótons em um feixe de luz de potência $ P $ . Eu sei que ele tem potência constante $ P $ em toda a faixa de comprimentos de onda $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Portanto, para calcular isso, usei uma fórmula que foi dada em outra pergunta de SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Está tudo bem e, usando isso, criei $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Mas não estou totalmente convencido dessa fórmula porque não consigo derivá-la de $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
A resposta que recebo da fórmula parece certa, mas preciso de uma prova disso.
Fonte para a equação: Número de fótons
Comentários
- Então, qual é a expressão para $ dE / d \ nu $ que você usou para avaliar sua integral?
- Bem, a potência é uniformemente distribuída no intervalo, então eu disse $ E = h \ nu $, portanto $ dE / d \ nu = h $
- Por que não $ E = 2h \ nu $ ? Existem muitas possibilidades Por que você escolhe uma específica? A equação $ E = h \ nu $ está relacionada à energia de um único fóton. E se você não tiver uma fonte de fóton único? Mesmo se sua fonte for um único fóton. Essas coisas geralmente produzem muitos milhares de pulsos de fóton único por segundo, então, novamente, sua escolha por $ E $ parece estranha.
- Isso ' não é tão estranho . I ' m calculando o número total de fótons emitidos pela fonte, e eles são distribuídos uniformemente. Com isso, quero dizer que a potência é a mesma para todas as frequências na faixa. Portanto, $ E = h \ nu $ deve ser a função que desejo. Se não, corrija-me
Resposta
Potência é a quantidade de energia transmitida por segundo, então você venceu ” t ser capaz de calcular o número de fótons. Em vez disso, você calculará o número de fótons por segundo. Considero $ P $ a potência total do feixe dentro da frequência variam de $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ .
O número de fótons por segundo em um pequeno intervalo espectral $ \ delta \ nu $ vai depender da razão da potência do feixe nesse intervalo espectral, para a energia por fóton no intervalo espectral.
A potência do feixe é igual ao número de fótons por segundo, dividido pela energia por fóton. Os fótons têm uma faixa de frequências, $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ . O problema afirma que a potência é a mesma para cada frequência cy dentro desse intervalo.
Seja N o número total de fótons por segundo transportados pelo feixe. Vamos escolher um pequeno intervalo de frequência de $ \ nu_i $ a $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Podemos fingir que todos os fótons nesse pequeno intervalo têm a mesma frequência, $ \ nu_i $ . Portanto, o número de fótons por segundo nesse intervalo é $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Mas $ dP / d \ nu $ é uma constante: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Para encontrar o número total de fótons por segundo em todo o intervalo, precisamos somar todas as contribuições de todos os pequenos intervalos:
$$ N (total de fótons / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
em todos os $ \ nu_i $ no intervalo. Isso “é apenas a integral
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
onde $ N $ é o número de fótons por segundo dentro do intervalo de $ \ nu_1 $ para $ \ nu_2 $ .
(Espero não ter cometido nenhum erro matemático. Sou muito desajeitado com MathJax.)
Comentários
- Tudo bem, mas o que eu queria saber é a derivação da fórmula. Quer dizer , como você chega lá de $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ na fórmula que dei é um número de fótons por segundo . $ N $ em $ E = Nh \ nu $ é um número de fótons, não um número de fótons por segundo.
- Ótimo, então diga $ P = Nh \ nu $ onde $ N $ é o número oh fótons por segundo. Como você deriva a fórmula para $ N $ quando $ \ nu $ é um intervalo?
- Ah, então: você precisa entender melhor o que significa integral. Vou editar minha resposta para incluí-la.
- A edição deixou tudo muito mais claro! Mas há uma última coisa que me incomoda …Quando você escreve o número de fótons por segundo na pequena faixa de frequências, como você consegue isso? Não consigo ' não conseguir entender essa ideia. É a única dúvida que realmente tenho. Desde o início eu sei que deveria estar integrando alguma função em $ \ nu $ mas não consegui chegar lá. Esta etapa crucial está realmente me incomodando. Parece muito simples, mas sinto que ' estou perdendo uma etapa.