Números alternados são números em que todos os dígitos alternam entre pares e ímpares. Por exemplo: 2703 e 7230 são números alternados, mas 2730 não é.
Os números são muito alternados quando o dobro do número também é um número alternado, por exemplo 3816 é muito alternando, porque 7632 também é um número alternado.
A pergunta para você é: quantos números de 4 dígitos muito alternados existem? (o número não pode começar com um ou vários zeros)
É claro que este problema pode ser resolvido por programação, mas também pode ser resolvido matematicamente! Boa sorte!
NB: Eu não inventei esse quebra-cabeça, ele faz parte da Olimpíada de Matemática Holandesa, veja este PDF
Comentários
Resposta
O número de tais números é
70
Quando você dobra um número, um dígito do resultado é par se e somente se o dígito para o direito não carregou.
Portanto, $ 2x $ está alternando se e somente se os dígitos de $ x $ são $ LHLH $, onde $ L \ in \ {0,1,2,3 , 4 \} $ e $ H \ in \ {5,6,7,8,9 \} $.
(Como uma observação lateral, isso implica que se $ x $ é muito alternado, então $ 2x $ ainda será um número de quatro dígitos, de modo que $ x < 5000 $ necessariamente).
Sabemos que se $ x $ está alternando quando se parece com OEOE ou EOEO. Para $ x $ ser muito alternado, também deve ser $ LHLH $, portanto, vamos contar o número de maneiras de atender a essas duas restrições.
-
OEOE
: Cada número ímpar deve ser baixo, o que significa que cada um é $ 1 $ ou $ 3 $. Cada par deve ser alto, então $ 6 $ ou $ 8 $. Existem duas opções para cada dígito para um total de $ 2 \ cdot2 \ cdot2 \ cdot2 = 16 $ possibilidades.
-
EOEO : Agora os pares são baixos ($ 0,2 $ ou $ 4 $) e as probabilidades são altas ($ 5,7 $ ou $ 9 $). Existem três opções para cada dígito, exceto que o primeiro dígito não pode “ser zero, então existem $ 2 \ cdot3 \ cdot3 \ cdot3 = 54 $ possibilidades.
Esses dois contagens são adicionadas à resposta desejada.
Comentários
- Eu ' meio que perdi sua explicação . Chego ao LHLH, mas depois disso, talvez eu ' m denso?
- De acordo com os comentários sobre o OP, o dobro do número alternado pode ser mais de 4 dígitos.
- @GentlePurpleRain Isso não ' t importa. Um número de cinco dígitos deve começar com 1, mas seu último dígito deve ser par, para que possa ' t alternar.
- @f ' ' sim, mas também nenhum número de 5 dígitos faz o corte de qualquer maneira
- @mikeearnest adicionou um pouco à sua resposta. Sinta-se à vontade para reverter se você não ' não goste
Resposta
A resposta r é
70
Fiz uma contagem manual. Ainda estou tentando encontrar uma solução matemática.
Comentários
- Eu ' sinto muito, que ' não é a resposta. Como você chegou a esta resposta?
- @xander verifique minha última edição
- Eu ' desculpe, ainda não é a resposta certa
- Espere, eu vejo o que fiz de errado, espere
- @xander Que tal agora?
Resposta
Droga, comecei esta força bruta antes das respostas e obtive
70
VBA
A melhor lógica para esta rota teria sido
if (one mod 2 = three mod 2) and (two mod 2 = four mod 2) then if one mod 2 <> two mod 2 then counter increase Resposta
Lá vamos nós, força bruta de novo!
A resposta é, conforme apontado em outras respostas:
70
Você pode verificar JSFiddle para o código-fonte e uma lista completa de números muito alternativos de 4 dígitos.
Resposta
A resposta correta é:
70
#AnubhavBalodhi, puzzling.stackexchange,26036, 1/2/16 2341 hrs E=["0","2","4","6","8"] O=["1","3","5","7","9"] ans=0 alters=[] def Alt(num): N=str(num) if len(N)<5: #4 digit if (N[0] in E and N[1] in O and N[2] in E and N[3] in O) or (N[0] in O and N[1] in E and N[2] in O and N[3] in E): alters.append(num) else: #5 digit if (N[0] in E and N[1] in O and N[2] in E and N[3] in O and N[4] in E ) or (N[0] in O and N[1] in E and N[2] in O and N[3] in E and N[4] in O): alters.append(num) for num in range(1000,10**5): Alt(num) #print(num) print(len(alters)) for numb in alters: if numb<9999 and numb*2 in alters: #if the number in alternating list is of 4 digits, and its double is also in the list. print(numb) ans+=1 print("ans is %d" %(ans))
1818, que dobra para3636e, em seguida, novamente para7272. Pode haver mais se você permitir que o duplo e o duplo-duplo tenham 5 dígitos …3,9,18,109,309,418,818,909,1818. Destes, apenas9,109e909são muito muito muito alternando. Eu ' tenho certeza de que ' é impossível encontrar um que ' tenha cinco níveis de muito alternância.