O enigma do sapo – probabilidades condicionais

Vejamos o par de rãs. As rãs machos são identificadas pelo coaxar no vídeo.

Conforme explicado no vídeo, antes de ouvirmos qualquer coaxar, existem 4 resultados igualmente prováveis, dados 2 sapos:

• Sapo 1 é Masculino, Sapo 2 é Masculino
• Sapo 1 é Feminino, Frog 2 é Masculino
• Sapo 1 é Masculino, Frog 2 é Fêmea
• Sapo 1 é Feminino, Sapo 2 é Feminino

Fazendo as suposições sobre homens e mulheres ocorrendo de forma igual e independente, nosso espaço de amostra é $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, e temos probabilidade $ 1/4 $ para cada elemento.

Agora, quando ouvirmos o coaxar vindo deste par, sabemos que pelo menos um sapo é macho. Portanto, o evento $ (F, F) $ é impossível. Temos então um novo espaço de amostra reduzido induzido por esta condição: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Cada possibilidade restante ainda é igualmente provável, e os probabili O valor de todos os eventos somados deve ser $ 1 $. Portanto, a probabilidade de cada um desses três eventos no novo espaço amostral deve ser $ 1/3 $.

O único evento que termina mal para nós é $ (M, M) $, então há um $ 2 / 3 $ chance de sobrevivência.

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Mais formalmente, a definição de probabilidade condicional diz:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Então se $ A $ é o evento em que pelo menos uma mulher está presente e $ B $ é o evento em que pelo menos um homem está presente, temos: \ begin {align} P (\ text {F dado pelo menos 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F e pelo menos 1 homem})} {P (\ text {at pelo menos 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M e 1 F})} {P (\ text {1 M ou 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Este é realmente o mesmo procedimento pelo qual raciocinamos acima.

Comentários

• Oi mb7744, obrigado pela resposta rápida. Eu entendo a resposta conforme apresentada, no entanto, isso me parece uma contagem dupla, e é por isso que ‘ estou lutando para aceitar a resposta. (M, F) = (F, M), com certeza, e se não, por quê?
• (M, F) e (F, M) não são o mesmo evento. Se um sapo se chama Alex e o outro se chama Taylor, Alex pode ser a fêmea e Taylor o macho OU vice-versa. Alex e Taylor provavelmente discordariam de que essa distinção não tem sentido. Agora, você poderia ver os dois eventos como equivalentes.Entretanto, então seus três resultados (M, M), (F, F) e (M, F) não são igualmente prováveis. O emparelhamento misto é duas vezes mais provável. Esta é a mesma razão pela qual você tem muito mais probabilidade de rolar um 7 em um par de dados do que um 2, mesmo se você considerar todas as diferentes maneiras de rolar 7 como equivalentes.
• Olá, eu acho isso ajuda a esclarecer onde eu ‘ não ‘ obtendo ‘ o enigma. Se eu puder reafirmar o problema como ‘ estou vendo, substitua o sapo por um cara ou coroa (ou lançamento de dados). Se você tivesse que lançar duas moedas e excluir certas combinações, eu aceitaria completamente a resposta. No enigma ‘ analogia do enigma, entretanto, eu li isso porque só temos um lance de moeda. O outro já foi feito e não pode mudar o resultado do outro. Não saber qual dos dois resultados já foi determinado não ‘ nos permite lançar duas moedas e escolher quais resultados incluir ou excluir. Então, usando a analogia do lançamento de dados …
• … você pode lançar dois dados, mas sem saber que um dado ‘ o resultado já foi decidiu. Você só tem 1/6 de chance de fazer qualquer número 7-12. Estou errado aqui?
• Se olharmos para todos os pares de resultados igualmente prováveis no lançamento de dados, a ordem é importante . Imagine que um dado é azul e o outro vermelho, e escrevemos nossos resultados com o dado azul primeiro e o vermelho por último. Então, o resultado (1,2) não é o mesmo que o resultado (2,1). E, como antes, a probabilidade de lançar um ” 1 e um 2, independentemente da ordem ” será duas vezes maior do que, digamos , rolando um par de 2s. Para sua última pergunta, estou assumindo que você quis dizer que um resultado ‘ foi decidido em 6 . Nesse caso, você está correto.

Visto que a matemática já está definida, tentarei fornecer alguma intuição. O problema é que saber que pelo menos um sapo é macho é diferente de saber que qualquer sapo em particular é macho. O primeiro caso traz menos informações e isso efetivamente aumenta nossas chances em relação à última situação .

Chame os sapos para a esquerda e para a direita e suponha que nos disseram que o sapo da direita é macho. Então, eliminamos dois eventos possíveis do espaço da amostra: o evento em que ambos As rãs são fêmeas e o evento em que a rã esquerda é macho e a rã direita é fêmea. Agora, a probabilidade verdadeiramente é metade e não importa qual escolher. O mesmo argumento é verdadeiro se descobrirmos que o sapo esquerdo é macho.

Mas se nos for dito apenas que pelo menos um sapo é macho, que é o que acontece quando ouvimos o coaxar, então não podemos elimine o evento de que a rã esquerda é macho e a rã direita é fêmea. Só podemos eliminar o evento de que ambas são mulheres, o que torna mais provável que pelo menos uma seja mulher do que no cenário anterior.

Acho que a razão pela qual isso é confuso é que naturalmente pensamos ao aprender que pelo menos um deles é do sexo masculino deveria nos impedir de escolher o par de sapos. É verdade que essa informação torna menos provável que pelo menos uma seja mulher, mas reconheça também que havia três quartos de chance de pelo menos uma mulher antes de aprendermos alguma coisa. É a ambigüidade das informações que recebemos que faz com que ainda devamos preferir os dois sapos a um.

Comentários

• Obrigado dsaxton, intuitivamente optei pelos dois sapos, mas meu raciocínio me disse que ambas as escolhas eram igualmente prováveis.
• Obrigado dsaxton, suspeito que ‘ é o fraseado do enigma que está me jogando. Como encontrado, os dois sapos não são distinguíveis (sem mais informações), portanto, não estou vendo a distinção (M, F), (F, M) como significativa neste contexto. Não estou convencido de que meu raciocínio esteja errado, mas peço desculpas se estou apenas sendo um pouco lento.
• Obrigado novamente dsaxton. Como mencionado acima, eu ‘ descobri o travamento mental que estava tendo e posso ver agora por que a resposta é a resposta certa (e a pergunta que eu estava tentando responder). Obrigado novamente por sua ajuda, ver a resposta não é o mesmo que ter a ajuda para realmente entendê-lo.

Sua intuição está correta neste caso. Conforme o problema é declarado, suas chances de sobrevivência são de 50%. O vídeo indica incorretamente o espaço do problema com base nas informações que temos e, portanto, chega a uma conclusão incorreta. O espaço de problema correto contém 8 condições e é o seguinte.

Temos dois sapos em um tronco, e um deles coaxou, quais são as nossas possibilidades?(M designa macho, F designa fêmea ec designa coaxado, a primeira posição é esquerda, a segunda posição é direita)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Cada caso é igualmente provável com base no informação que temos, quando eliminamos as condições, dado o conhecimento de que um sapo macho coaxou. Descobrimos que existem 4 resultados a serem esperados. O sapo macho esquerdo coaxou ao lado de um sapo macho direito que estava em silêncio. O sapo macho direito coaxou ao lado de um sapo macho esquerdo que estava em silêncio. Ou havia um sapo macho coaxando emparelhado com uma única sapo fêmea em qualquer direção. Para uma forma intuitiva de entender isso, os dois sapos machos têm duas vezes mais chances de coaxar do que o sapo único macho pareado com uma fêmea, então temos que pesar adequadamente.

Você também pode dividir o espaço de busca por sapo coaxando (C) e sapo não coaxando (N). Como o sapo coaxante é 100% macho, você pode eliminá-lo de sua busca, pois não tem chance de ajudá-lo a sobreviver. Enquanto o autor pretendia criar um “problema de monty hall”, eles inadvertidamente criaram um “paradoxo de menino ou menina”.

As seguintes questões produzem resultados diferentes:

Dado que existe um macho, qual é a probabilidade do outro ser fêmea?

Dado que um sapo macho coaxou o quê é provável que o outro seja mulher?

Eu sei mais informações no segundo caso

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Uma resposta mais clara, já que a anterior era muito longa e difícil de entender.

Os resultados possíveis são diferentes, embora eu tenha usado as mesmas letras. Para deixar claro o espaço da amostra, descreverei os resultados possíveis

MM -> “O homem está à esquerda “-” Um homem aleatório à direita “

MF -> “O homem está à esquerda” – “Uma mulher aleatória à direita”

MM – -> “O homem está à direita” – “Um homem aleatório à esquerda”

MF -> “O homem está à direita” – “Uma mulher aleatória à esquerda”

Comentários

• Você está contando duas vezes o MM caso. Você pode ‘ t apenas enumerar todos os cenários possíveis sem levar em consideração se você ‘ está chegando ao mesmo cenário por caminhos diferentes.

O problema que tenho com este problema é que a solução parece estar usando regras diferentes para o que considera um resultado possível para as duas rãs serem machos e fêmeas, e machos e machos.

O par F / M e o par M / F são diferentes porque não sabemos se o primeiro sapo ou o segundo sapo é macho, então F / M e M / F são duas possibilidades distintas, embora o resultado ainda resulte em “uma rã fêmea, um sapo macho”.

Mas o M / M O par é considerado apenas um resultado possível, embora a mesma lógica deva ser aplicada: não sabemos qual sapo é o que fez o som de coaxar, então qualquer sapo pode ser aquele que ouvimos, e o outro ainda pode ser macho , simplesmente não coaxou.

Commen ts

• Isso tem mais a natureza de um comentário do que uma resposta ao ” enigma. ” Altere para um comentário e exclua esta ” resposta. ”
• @DJohnson Na verdade, esta é uma resposta para o enigma, embora a última resposta de tomciopp explique mais claramente.

Não saber de nada: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Três pares com pelo menos uma mulher entre quatro combinações possíveis: $ 3/4 $ ou $ 75 \% $

Saber que o primeiro é masculino: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Um par com pelo menos uma fêmea de duas combinações possíveis: $ 1/2 $ ou $ 50 \% $

Saber que há pelo menos um homem: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Dois pares com pelo menos uma mulher entre três combinações possíveis: $ 2/3 $ ou $ 67 \% $

Antes de ouvirmos qualquer coaxar, existem 4 resultados igualmente prováveis dados 2 sapos:

Frog 1 é Masculino, Frog 2 é Masculino

Frog 1 é Feminino, Frog 2 é Masculino

Frog 1 é Masculino, Frog 2 é Feminino

Frog 1 é Feminino, Frog 2 é Feminino

Fazendo as suposições sobre machos e fêmeas ocorrendo de forma igual e independente, nosso espaço de amostra é {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, e temos probabilidade de 1/4 para cada elemento.

Assim que ouvirmos o coaxar desse par, saberemos que pelo menos um sapo é macho. Este macho pode ser igualmente Sapo 1 ou Sapo 2. Portanto, há 2 resultados igualmente prováveis para o Sapo 1:

Sapo 1 é Masculino

Sapo 1 é Sapo Aleatório

Fazendo as suposições sobre machos e fêmeas ocorrendo de forma igual e independente, o sapo aleatório tem a mesma probabilidade de ser um macho aleatório ou uma fêmea aleatória.

P (o sapo 1 é um macho aleatório dado que o sapo 1 é Random Frog) = P (Frog 1 é Random Female dado que Frog 1 é Random Frog) = 1/2

P (Frog 1 é Random Mac e Frog 1 é Random Frog) = P (Frog 1 é Random Sapo) P (Sapo 1 é Macho Aleatório dado que Sapo 1 é Sapo Aleatório) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Sapo 1 é Random Female e Frog 1 is Random Frog) = P (Frog 1 is Random Frog) P (Frog 1 is Random Female dado Frog 1 is Random Frog) = (1/2) (1/2) = 1/4

Portanto, há 3 resultados possíveis para o Sapo 1:

O Sapo 1 é Masculino

O Sapo 1 é Masculino Aleatório

Sapo 1 é Fêmea Aleatória

e as probabilidades são:

P (Sapo 1 é Masculino) = 1/2

P (Sapo 1 é Macho Aleatório ) = 1/4

P (Frog 1 é Random Female) = 1/4

Agora, para cada resultado possível para Frog 1, há 2 resultados possíveis para Frog 2:

Frog 2 é Masculino

Sapo 2 é Sapo Aleatório

Para cada resultado possível para Sapo 1, o Sapo Aleatório tem a mesma probabilidade de ser um Macho Aleatório ou uma Fêmea Aleatória.

Assim, para cada resultado possível para o Sapo 1, existem 3 resultados possíveis para o Sapo 2:

O Sapo 2 é Macho

O Sapo 2 é Macho Aleatório

Sapo 2 é Fêmea Aleatória

P (Sapo 2 é Macho dado que Sapo 1 é Macho) = 0

P (Sapo 2 é Macho dado que Sapo 1 é Macho Aleatório) = 1

P (Sapo 2 é Masculino, dado que Frog 1 é Random Female) = 1

P (Frog 2 é Random Male dado que Frog 1 é Masculino) = 1/2

P (Sapo 2 é Macho aleatório dado que Sapo 1 é Macho aleatório) = 0

P (Sapo 2 é Macho aleatório dado que Sapo 1 é Fêmea aleatória) = 0

P (Frog 2 é Random Female dado que Frog 1 is Male) = 1/2

P (Frog 2 é Random Female dado Frog 1 is Random Male) = 0

P (Frog 2 é Random Female dado que Frog 1 é Random Fe masculino) = 0

P (Sapo 2 é Macho Aleatório e Sapo 1 é Macho) = P (Sapo 1 é Macho) P (Sapo 2 é Macho Aleatório dado que Sapo 1 é Macho) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Sapo 2 é Fêmea Aleatória e Sapo 1 é Macho) = P (Sapo 1 é Macho) P ( Sapo 2 é Fêmea Aleatória dado que Sapo 1 é Macho) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Sapo 2 é Macho e Sapo 1 é Macho Aleatório) = P (sapo 1 é macho aleatório) * P (sapo 2 é macho dado que sapo 1 é macho aleatório) = (1/4) * 1 = 1/4

P (sapo 2 é macho e sapo 1 é Fêmea Aleatória) = P (Sapo 1 é Fêmea Aleatória) * P (Sapo 2 é Macho dado que o Sapo 1 é Fêmea Aleatório) = (1/4) * 1 = 1/4

Então, nosso o espaço de amostra é {(Masculino, Masculino aleatório), (Masculino, Feminino aleatório), (Masculino aleatório, Masculino), (Feminino aleatório, Masculino)}, e temos probabilidade de 1/4 para cada elemento.

P (F dado pelo menos 1 M) = P (F e pelo menos 1 homem) / P (pelo menos 1 M) = P (1 M e 1 F) / P (1 M ou 2 M) = P [( Masculino, Feminino aleatório), (Feminino aleatório, Masculino)] / P [(Masculino, Masculino aleatório), (Masculino, Feminino aleatório), (Masculino aleatório, Masculino), (Feminino aleatório, Masculino)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Comentários

• Você copiou e colou de minha resposta e removeu a formatação?
• Bem, em primeiro lugar, copiando e colando uma parte de outra pessoa ‘ A resposta de div, mesmo sem mencioná-la, é inaceitável. Tirando isso, se você acha que chegou a um resultado diferente, existe uma maneira mais concisa de explicá-lo? Você escreveu muitas equações desconexas sem qualquer explicação.
• Não ‘ é literatura, mas ainda é rude. Agora, com relação à sua resposta versus a minha: eu acho a sua absurda. Qual é o significado do resultado ” Frog 2 is Random Frog “?
• Sua resposta foi a única calcular probabilidades condicionais. Usar os mesmos termos pode ajudar a comparar e ver qual parte é a mesma e qual é diferente. Posso dizer que também acho outras respostas sem sentido, mas não disse porque seria rude;). Se você não entende o sth, pode simplesmente pedir esclarecimentos. ” Sapo 2 é Sapo Aleatório ” significa que não é o sapo macho conhecido por estar no par ….
• Existem duas fontes de aleatoriedade, uma proveniente do sapo macho conhecido por estar no par, a outra proveniente da população de sapos. Já que sabemos que o sapo macho está lá, a incerteza é apenas sobre a posição. É sapo 1 ou sapo 2? Ou está à esquerda ou à direita? Meu conselho é, use o diagrama de árvore para construir o espaço de amostra do zero e use todas as informações disponíveis.