O que é ativação GELU?

Função GELU

Podemos expandir a distribuição cumulativa de $ \ mathcal {N} (0, 1) $ , ou seja, $ \ Phi (x) $ , da seguinte maneira: $$ \ text {GELU} (x): = x {\ Bbb P} (X \ le x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1+ \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2 }} \ right) \ right) $$

Observe que esta é uma definição , não uma equação (ou uma relação). Os autores forneceram algumas justificativas para esta proposta, por exemplo uma analogia estocástica, embora matematicamente, é apenas uma definição.

Aqui está o gráfico de GELU:

Aproximação de Tanh

Para esses tipos de aproximações numéricas, a ideia principal é encontrar uma função semelhante (principalmente com base na experiência), parametrizá-la e ajustá-la a um conjunto de pontos da função original.

Saber que $ \ text {erf} (x) $ está muito próximo de $ \ text {tanh} (x) $

e primeira derivada de $ \ text {erf} (\ frac {x} {\ sqrt {2}}) $ coincide com o de $ \ text {tanh} (\ sqrt { \ frac {2} {\ pi}} x) $ em $ x = 0 $ , que é $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ , procedemos para ajustar $$ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + ax ^ 2 + bx ^ 3 + cx ^ 4 + dx ^ 5) \ right) $$ (ou com mais termos) para um conjunto de pontos $ \ left (x_i, \ text {erf} \ left (\ frac {x_i} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) $ .

Eu ajustei esta função a 20 amostras entre $ (- 1.5, 1.5) $ ( usando este site ), e aqui estão os coeficientes:

Definindo $ a = c = d = 0 $ , $ b $ foi estimado em $ 0,04495641 $ . Com mais amostras de um intervalo mais amplo (esse site só permite 20), o coeficiente $ b $ estará mais próximo do papel “s $ 0,044715 $ . Finalmente, obtemos

$ \ text {GELU} (x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1 + \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) \ simeq 0,5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + 0,044715x ^ 3) \ right) \ right) $

com erro quadrático médio $ \ sim 10 ^ {- 8} $ para $ x \ in [-10, 10] $ .

Observe que se fizéssemos não utilizar a relação entre as primeiras derivadas, o termo $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ teria sido incluído nos parâmetros a seguir $$ 0,5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (0,797885x + 0,035677x ^ 3 \ right) \ right) $$ que é menos bonito (menos analítico , mais numérico)!

Utilizando a paridade

Conforme sugerido por @BookYourLuck , podemos utilizar a paridade de funções para restringir o espaço de polinômios em que pesquisamos. Ou seja, uma vez que $ \ text {erf} $ é uma função ímpar, ou seja, $ f (-x) = – f (x) $ , e $ \ text {tanh} $ também é uma função ímpar, função polinomial $ \ text {pol} (x) $ dentro de $ \ text {tanh} $ também deve ser ímpar (deve ter apenas poderes ímpares de $ x $ ) para ter $$ \ text {erf} (- x) \ simeq \ text {tanh} (\ text {pol} (-x)) = \ text {tanh} (- \ text {pol} (x)) = – \ text {tanh} (\ text {pol} (x)) \ simeq- \ text {erf} (x) $$

Anteriormente, tínhamos a sorte de terminar com coeficientes (quase) zero para potências pares $ x ^ 2 $ e $ x ^ 4 $ , no entanto, em geral, isso pode levar a aproximações de baixa qualidade que, por exemplo, têm um termo como $ 0,23x ^ 2 $ que está sendo cancelado por termos extras (pares ou ímpares) em vez de simplesmente optar por $ 0x ^ 2 $ .

Aproximação sigmóide

Uma relação semelhante se mantém entre $ \ text {erf} (x) $ e $ 2 \ left (\ sigma (x) – \ frac {1} {2} \ right) $ (sigmóide), que é proposto no artigo como outra aproximação, com erro quadrático médio $ \ sim 10 ^ {- 4} $ para $ x \ in [-10, 10] $ .

Aqui está um código Python para gerar pontos de dados, ajustar as funções e calcular os erros quadrados médios:

import math import numpy as np import scipy.optimize as optimize def tahn(xs, a): return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs] def sigmoid(xs, a): return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs] print_points = 0 np.random.seed(123) # xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0, # .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2] # xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8))) # xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6))) xs = np.arange(-10, 10, 0.001) erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs]) ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs]) # Fit tanh and sigmoid curves to erf points tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs) print("Tanh fit: a=%5.5f" % tuple(tanh_popt)) sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs) print("Sigmoid fit: a=%5.5f" % tuple(sig_popt)) # curves used in https://mycurvefit.com: # 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5)) # 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3)) y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs]) tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean() y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs]) tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean() # curve used in https://mycurvefit.com: # 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5) y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs]) sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean() y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs]) sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean() print("Paper tanh error:", tanh_error_paper) print("Alternative tanh error:", tanh_error_alt) print("Paper sigmoid error:", sigmoid_error_paper) print("Alternative sigmoid error:", sigmoid_error_alt) if print_points == 1: print(len(xs)) for x, erf in zip(xs, erfs): print(x, erf) 

Resultado:

Tanh fit: a=0.04485 Sigmoid fit: a=1.70099 Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08 Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08 Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05 Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05 

Comentários

• Por que a aproximação é necessária? Não poderiam ' eles apenas usar a função erf?

Primeiro, observe que $$ \ Phi (x) = \ frac12 \ mathrm {erfc} \ left (- \ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) = \ frac12 \ left (1 + \ mathrm {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt2} \ right) \ right) $$ por paridade de $ \ mathrm {erf} $ . Precisamos mostrar que $$ \ mathrm {erf} \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) \ approx \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) $$ para $ a \ approx 0.044715 $ .

Para grandes valores de $ x $ , ambas as funções são limitadas em $ [- 1, 1 ] $ . Para pequenos $ x $ , a respectiva série de Taylor lê $$ \ tanh (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3} + o (x ^ 3) $$ e $$ \ mathrm {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left (x – \ frac {x ^ 3} {3} \ right) + o (x ^ 3). $$ Substituindo, obtemos que $$ \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) = \ sqrt \ frac {2} {\ pi} \ left (x + \ left (a – \ frac {2} {3 \ pi} \ right) x ^ 3 \ right) + o (x ^ 3) $$ e $$ \ mathrm {erf } \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) = \ sqrt \ frac2 \ pi \ left (x – \ frac {x ^ 3} {6} \ right) + o (x ^ 3). $$ Coeficiente de equação para $ x ^ 3 $ , encontramos $$ a \ approx 0.04553992412 $$ perto do papel “s $ 0,044715 $ .