O que é a Superfície de Fermi ? Espero que esta questão não seja muito elementar para este fórum, e peço desculpas antecipadamente caso seja.

Permita-me explicar minha confusão. Dado um sólido, acredito ter algum sentimento pelo nível de Fermi. Posso entendê-lo, por exemplo, como o parâmetro característico $ \ mu $ na distribuição de Fermi-Dirac dos níveis de energia para os elétrons no sistema: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorando por enquanto outras interpretações físicas. Assim, é o único nível de energia que tem probabilidade 1/2 de ser ocupado.

A definição da superfície de Fermi, por outro lado, é normalmente dada como “a iso-superfície de estados com energia igual ao nível de Fermi “no espaço tridimensional dos vetores de onda $ k $ , por exemplo neste artigo da Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Em outras palavras, é definido como $ k $ de modo que $$ E (k) = \ mu. $$ Até agora, tudo bem. O problema é que eu não entendo muito bem o que é $ E (k) $ .

Uma situação parece ser simples, a saber, um Fermi gás de partículas idênticas. Então, $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ e a superfície de Fermi é uma esfera. No entanto, se estamos em um potencial periódico infinito, o modelo idealizado usual para a teoria de Bloch, então as soluções para a equação de Schroedinger surgem na forma $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ onde $ u_ {kn} $ é uma função periódica e $ n $ é um índice discreto para os níveis de energia. Em outras palavras, para cada vetor de onda $ k $ ,

existem muitos níveis de energia $ E_n (k) $ .

Portanto, a equação para o A superfície Fermi seria realmente semelhante a $$ E_n (k) = \ mu. $$ Minha pergunta, portanto, é qual nível de energia é o $ E (k) $ que ocorre na definição da superfície de Fermi? Talvez haja uma superfície Fermi para cada nível $ n $ ? (Supondo que os níveis variam continuamente ao longo do espaço de impulso, permitindo-nos indexar consistentemente os níveis para $ k $ variáveis.)

Se eu pudesse elaborar minha confusão um pouco mais, não entendo muito bem a definição nesta resposta a esta pergunta:

O que é superfície de Fermi e por que esse conceito é tão útil na pesquisa de metais?

Afirma-se que

“A superfície de Fermi é simplesmente a superfície no espaço de momento onde, no limite de zero interações, todos os estados de férmions com momento (cristal) $ | k | < | k_F | $ estão ocupados e todos os estados de impulso superior estão vazios. “

Para começar, como mencionado acima, para qualquer impulso $ k $ , existe é uma sequência infinita de estados de férmions. O outro problema é que não tenho certeza de que a declaração acima define uma superfície única, mesmo se eu fosse capaz de, de alguma forma, escolher um estado de férmions $ \ psi (k) $ para cada $ k $ a que a declaração se refere. (Eu precisaria fazer um desenho para explicar esse ponto, o que não tenho competência para fazer.)

Comentários

  • O Fermi a superfície é definida em uma temperatura de zero absoluto, então você pega as soluções do estado fundamental $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • E em um sólido, você olha para os estados dentro de ( Wigner-Seitz) célula unitária.
  • Limão: Acho que também é bastante confuso. Portanto, sua declaração seria ‘ A superfície de Fermi é o conjunto de $ k $ de modo que $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ onde $ E_0 (k) $ é a energia mais baixa com momento $ k $. Mas então, em um sólido onde muitos de as bandas de energia mais baixas estão preenchidas, haveria muitos elétrons acima do nível de Fermi. Isso parece não concordar com a imagem usual.
  • Jon Custer: Acho que você ‘ referindo-se ao fato de que cada um dos $ u_ {kn} $ é determinado por seus valores em uma célula. Isso ‘ é verdadeiro. Mas não há estados que sejam apenas conc inserido em uma célula. (Os $ u_ {kn} $ são periódicos.) Em qualquer caso, eu não ‘ não vejo como isso responde à pergunta.A forma como você expressa isso soa como ‘ para cada $ k $, há um $ \ psi_ {kn} $ exclusivo concentrado em uma célula, e sua energia é o que usamos para definir a superfície de Fermi. ‘ Isso não ‘ não parece correto por uma variedade de razões.

Resposta

Tudo o que você diz está correto. A superfície de Fermi é definida como o conjunto de pontos $ k $ tais que $ E_n (k) = \ mu $ para qualquer banda $ n $. No entanto, normalmente as bandas são espaçadas relativamente longe e não se sobrepõem em energia, como este:

insira a imagem descrição aqui

Como podemos ver, as bandas 1 e 3 estão completamente acima ou completamente abaixo do potencial químico $ \ mu $ e, portanto, são irrelevantes para determinar a superfície de Fermi ( na verdade, em baixas temperaturas, essas bandas são praticamente irrelevantes para qualquer fenômenos físicos – apenas bandas próximas ao potencial químico são fisicamente importantes). É por isso que, na prática, você pode fugir apenas considerando uma ou duas bandas e ignorando completamente todas as outras – e quando há “uma superfície de Fermi (ou seja, o potencial químico cruza uma banda (s)), uma banda é quase sempre suficiente.

Em mais complicado / incomum entretanto, você precisa manter o controle de várias bandas. Por exemplo, às vezes as bandas podem se tocar ou se cruzar, e coisas engraçadas podem acontecer se você ajustar o potencial químico exatamente para o cr ponto de ossificação. Ainda mais incomum, duas bandas podem compartilhar toda uma gama finita de energia – por exemplo, duas curvas de cosseno foram deslocadas verticalmente por uma pequena quantidade. Mas esses casos são muito raros – para a maioria dos materiais cotidianos, $ \ mu $ fica em no máximo uma faixa e você não precisa se preocupar com isso. (Na verdade, os físicos profissionais gostam de encontrar / criar materiais incomuns onde o potencial químico realmente fica bem no cruzamento da banda, precisamente porque tais sistemas não são tão bem compreendidos teoricamente, então há mais para aprender.)

BTW, em 1-D, como no gráfico acima, a “superfície” de Fermi consiste apenas em valores isolados de $ k $, mas em 2-D é geralmente uma curva fechada no plano $ k_x $ – $ k_y $ , e em 3-D é geralmente uma superfície fechada, como uma esfera. Às vezes, a superfície de Fermi pode consistir em duas (ou mais) esferas, uma dentro da outra, e a superfície preenchida ” Mar de Fermi “para a banda relevante fica entre eles . Esse fenômeno é chamado de” aninhamento de superfície de Fermi “. Mas se você” está apenas aprendendo sobre as superfícies de Fermi, não precisa se preocupar com isso ” situações complicadas por muito tempo.

Comentários

  • Obrigado pela resposta clara. A propósito, ‘ percebi agora que a palavra ‘ banda ‘ é usada de duas maneiras distintas na física do estado sólido. A palavra que você usa aqui se refere apenas a um nível de energia. Mas também existe a noção de banda como uma distribuição essencialmente contínua de níveis de energia, entre os quais existem ‘ lacunas. ‘ Acho que isso foi a maior parte da minha confusão. Corrija-me se eu ‘ estiver errado sobre isso.
  • @MinhyongKim A ” banda ” é definido como uma única curva $ E_n (k) $ para um determinado valor de $ n $. (Eu acho ‘ um pouco enganoso chamar isso de ” nível de energia ” porque a função geralmente não é constante, por isso assume valores ao longo de todo um intervalo finito de energias.) As pessoas ocasionalmente abusam da terminologia e também usam a palavra ” banda ” para se referir ao intervalo de energia sobre o qual a função varia – isto é, colapsando a dependência do momento. Você ‘ está certo ao dizer que é nisso que as pessoas pensam quando falam sobre ” lacunas de banda. ” Mas os dois sentidos da ” banda ” são quase idênticos …
  • .. . a única diferença é se você acompanha a dependência de $ k $ ou apenas considera o intervalo da função ‘ s.
  • Obrigado pela explicação adicional. Mas me parece algo importante distinguir os dois sentidos. Se a palavra ‘ banda ‘ estivesse sendo usada no sentido de estrutura de banda eletrônica, então a equação $ E_n (k) = \ mu $ wouldn ‘ t seria bem definido mesmo para um valor fixo de $ n $. Essa era uma das coisas muito confusas para um novato como eu. Em qualquer caso, obrigado novamente!

Resposta

A superfície de Fermi é a superfície no espaço recíproco (o (dual do espaço real em que você vive) delimitando os estados fermiônicos ocupados dos fermiônicos não ocupados à temperatura zero.Portanto, é uma construção de momentum ($ k $) em vez de uma construção de energia.

A lógica é a seguinte: tente colocar todos juntos um determinado número de férmions. Como eles seguem o princípio de exclusão de Pauli, você não pode embalar esses férmions da maneira que deseja. Cada vez que há espaço para um estado no espaço do momento, apenas um férmion pode ocupar essa sala vazia. Portanto, você deve começar a empilhar os férmions. Tem uma analogia completa com o preenchimento de uma estante de livros: você deve usar a próxima linha quando a anterior estiver cheia. Você pode usar intervalos menores entre raws, aumentar o tamanho de cada raw, …, se você tiver muitos livros, você pode usar o próximo raw, que nada mais é do que usar o próximo ramo de impulso em sua relação de dispersão (o que você chama $ k_n (E) $). Quando você coloca o último férmion em sua estante fermiônica , o estado de momentum correspondente é chamado de momentum de Fermi, a energia correspondente é chamada de energia de Fermi, …, e a superfície de iso- $ k $ no momento de Fermi é chamado de superfície de Fermi.

Poucas observações agora

  • Nunca haverá um número infinito de ramos usados para preencher um finito número de férmions nas relações de dispersão (a estrutura da banda do material, se preferir).

  • Não há contradição em supor que a superfície de Fermi tem várias folhas. Mesmo na Wikipedia , você já tem exemplos de superfície de Fermi com bolsões de elétrons e lacunas

  • O conceito de superfície de Fermi vem da noção de estatística (Fermi-Dirac), quando você tem um número finito de partículas para lidar (em uma terminologia antiga, é um segundo problema quantizado), enquanto a estrutura de banda é o espectro completo de estados disponíveis para um partícula (na terminologia antiga, é um primeiro problema quantizado) em um potencial periódico. A maneira mais fácil de passar de um para o outro é o uso do potencial químico, que fixa o número de partículas por estado de energia (mais precisamente, a quantidade de energia necessária para adicionar uma partícula ao sistema termodinâmico).

  • A superfície de Fermi é um conceito particularmente útil para entender algumas propriedades de transporte (elétrico, calor, … transportes) para materiais com estruturas de banda simples, como metais puros e semicondutores dopados. Quando a superfície de Fermi se torna muito complicada, fica difícil obter qualquer intuição dela. Acho que isso está no cerne do mal-entendido do conceito de sua pergunta.

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