O que é resolução de frequência?

Editar:

Eu percebi que minha definição abaixo de " Resolução de frequência " é completamente errado (assim como a pergunta de OP). A resolução de frequência é a semelhança da magnitude da função de janela no espaço de frequência com a função delta de Dirac. Isso ocorre porque o produto da janela e o sinal no domínio do tempo torna-se convolução no domínio da frequência ( e uma convolução com a função delta de Dirac é uma amostragem que daria resolução de frequência perfeita. Quanto mais gordo o lóbulo principal (quantificado por sua variância) e quanto mais altos os lóbulos laterais, pior a resolução de frequência. Além disso, a resolução de tempo pode ser quantificada pela variação da função da janela no domínio do tempo.

Resolução de frequência não é resolução / largura do compartimento. No gráfico abaixo, observe que os lóbulos não se aproximam (resolução de frequência), embora a largura do compartimento esteja diminuindo.

Crédito: Dan Boschen

A resolução de frequência é antes uma propriedade da transformada de Fourier da função retangular (ou seja, a função sinc).

Devemos funções de janela para trabalhar com transformadas de Fourier (mesmo quando trabalhando teoricamente). Como consequência, estamos sempre trabalhando com $ f (t) w (t) $ em vez da função $ f (t ) $ em si (aqui $ w (t) $ é uma função retangular). Pelo teorema da convolução, a transformada de Fourier de uma função em janela é sempre uma convolução de $ \ hat {f} $ com $ \ chapéu {w} = $ sinc. Notavelmente quando $ f $ é sinusoidal, $ \ hat {f} $ será uma função delta de Dirac e a convolução será apenas uma amostra de uma função sinc. Assim, periodicamente perdemos completamente as frequências ao criar janelas, a periodicidade dessa perda é a resolução de frequência .

Visto que, nas funções em janela, o DTFT é uma aproximação periódica do CTFT, ele também adquire essas propriedades.

A confusão surge porque quando não preenchemos zeros com o DFT (ou seja, apenas amostra $ f (t) w (t) $ onde $ w (t) = 1 $ ), a largura do compartimento é igual à resolução de frequência.

No entanto, também podemos preencher zeros (ou seja, também obter uma amostra de $ f (t) w (t) $ onde $ w (t) = 0 $ ) e isso resulta no DTF interpolando melhor o DTFT de $ f (t) w (t) $ . Consulte o primeiro gráfico.

Para ver por que a transformada de Fourier da função retangular é uma função sinc assista a este vídeo e considere o enrolamento das funções sinusoidais (embora seja bastante complicado)

Para responder ao exemplo de OP, a resolução do compartimento é $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ onde $ F_s = 2.000 $ Hz é a taxa de amostragem, e $ N $ o tamanho do DFT.

A resolução da frequência é o que a resolução do compartimento seria se apenas amostrássemos na janela (sem preenchimento de zero)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ onde $ M $ é o número de amostras na janela, $ T $ é a duração da amostra e $ F_s = M / T $ .

Comentários

• Boa resposta Tom.Além disso, se não estivermos claros, muitas vezes não ' usamos realmente uma janela retangular, mas outras janelas que se estreitam, que servem para diminuir significativamente os lóbulos laterais (melhorar a faixa dinâmica) à custa de degradar resolução de frequência ainda mais. Um dos meus artigos clássicos favoritos sobre isso e as aplicações do DFT em geral é o de Fred Harris. Acho que você ' vai realmente gostar se não ' já tiver visto: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Legal, que pena, eu posso ' t votar duas vezes!
• @TomHuntington Wikipedia aparentemente não ' conhece minhas fórmulas ou técnicas. Ainda estou tendo dificuldade com a resolução intrabin (devido ao ruído e à sensibilidade das equações), mas as frequências próximas podem ser resolvidas por estimativa e remoção iterativas. Quando você remove o tom grande, o menor é estimável. Quando você remove o tom pequeno, obtém uma leitura melhor do tom grande. E assim por diante, mesmo com vários tons. Qualquer tipo de janela complica a matemática.
• Se você tiver duas sinusóides de amplitude quase igual, mas muito próximas em frequência, você pode usar o fenômeno da batida no domínio do tempo. A frequência aparente do sinal (por cruzamentos de zero) é a média das duas frequências e a frequência do envelope (se você tomar um ciclo completo, por exemplo, dois lóbulos) é a metade da diferença das frequências.
• Além disso, a resolução define sua precisão em tudo o que você está medindo. Não diz nada sobre precisão.

Depende um pouco do que você está tentando alcançar.

Se você fizer um FFT de comprimento $ N $ de um sinal amostrado em uma taxa de $ F_s $ , então muitas pessoas diriam que sua resolução de frequência é $ \ frac {F_s} {N} $ . Se isso está correto ou não, realmente depende de como exatamente você define a resolução de frequência e o que você está planejando fazer com ela.

O que realmente está acontecendo é que você testa uma função de domínio de frequência com uma amostragem intervalo de $ \ frac {F_s} {N} $ . Assim que você escolhe um tamanho de FFT, está amostrando em ambos os domínios com os intervalos de amostragem sendo $ \ frac {1} {F_s} $ no tempo e $ \ frac {F_s} {N} $ em frequência.

A amostragem no domínio da frequência tem as mesmas propriedades, requisitos e problemas da amostragem no domínio do tempo, você pode obter aliasing, você pode interpolar, há periodicidade assumida no outro domínio, etc.

Simplesmente aplicando o teorema de amostragem, poderíamos argumentar que a resolução de frequência necessária para caracterizar totalmente um sinal é simplesmente o inverso do comprimento no domínio do tempo. Isso funciona bem para sinais que são inerentemente limitados no tempo, como a resposta ao impulso de um sistema LTI.

No entanto, não é prático para sinais contínuos longos. Nesse caso, você precisa escolher uma resolução de frequência que “seja” boa o suficiente para sua aplicação e que realmente dependa dos requisitos e do objetivo de seu Aplicação específica.

A Amostragem é dada por $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [seg].
O comprimento da janela é de 1000 amostras.
Como o comprimento da janela deve ser igual ao comprimento dos dados, inferimos que o comprimento dos dados é de 1000 amostras o que significa que o tempo de amostragem é $ 0,5 $ [Seg].

A resolução do Bin em DFT é a relação entre o intervalo de amostragem e o número de Amostras DFT, que neste caso é 2.000. Portanto, a resolução do compartimento é $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

O binwidth do FFT ou a resolução da reprentação, como gosto de chamá-lo, é Fs / N, onde N é o tamanho do FFT. A resolução real dependerá da janela que você usa e do comprimento da janela.

Por exemplo: uma janela retangular fornecerá resolução máxima, mas menos faixa dinâmica. Outras janelas mais suaves fornecem menos resolução com faixa mais dinâmica ou lobos laterais inferiores.