Advertência: A primeira parte desta resposta assume uma postura bastante técnica sobre o procedimento BRST e, adicionalmente, funciona com um espaço de fase de dimensão finita Por conveniência. Pode parecer muito distante da compreensão de fantasmas na aplicação média de transformações BRST ou fantasmas como uma ferramenta.

---

A concepção geral de fantasmas

Existem muitos diferentes níveis nos quais se pode discutir o aparecimento de fantasmas, anti-fantasmas e seus números na mecânica hamiltoniana restrita (que é o mesmo que as teorias de calibre em um nível lagrangeano). Um deles está parcialmente esboçado nesta minha resposta , onde o operador BRST é exibido como o diferencial na cohomologia da álgebra de Lie do medidor.

Veremos uma maneira um pouco diferente de olhar para os fantasmas, nomeadamente ” estendendo o espaço de fase “, nesta resposta, embora isso pode ser visto como uma reformulação da abordagem de cohomologia da álgebra de Lie em ” termos de espaço de fase “:

O O formalismo BRST, em um nível abstrato, busca implementar a redução a uma superfície de restrição $ \ Sigma $ em um espaço de fase $ X $ não resolvendo as restrições $ G_a $ , mas procurando uma ampliação adequada do espaço de fase de modo que as funções no espaço de fase ampliado tenham um derivação graduada $ \ delta $ vivendo neles cujo ho mology calcula as funções na superfície de restrição, que são os observáveis invariantes de calibre. ¹

O espaço de fase ampliado é obtido da seguinte forma:

1. Uma função na superfície de restrição $ \ Sigma $ é dada pelo quociente de todas as funções do espaço de fase módulo das funções desaparecendo na superfície. Cada função $ f $ que desaparece na superfície é fornecida por $$ f = f ^ a G_a $$ onde $ f ^ a $ são funções de espaço de fase arbitrárias. Se alguém introduzir tantas variáveis $ P_a $ quantas forem as restrições, e definir $ \ delta P_a = G_a $ bem como $ \ delta z = 0 $ para qualquer variável de espaço de fase original, a imagem de $ \ delta $ são exatamente todas as funções que desaparecem em $ \ Sigma $ . Para que $ \ delta $ seja avaliado, $ P_a $ deve ser considerado de grau $ 1 $ . O grau de uma função simplesmente o grau dela como um polinômio no $ P_a $ é chamado de anti- número fantasma . ²

2. O $ P_a $ são solitários e precisam de variáveis conjugadas. Elas são fornecidas pelas chamadas formas 1 longitudinais na superfície de restrição, onde um campo vetorial longitudinal na superfície de restrição é aquele que é tangente às órbitas de calibre. Seus duais são formas 1 que são definidas apenas em vetores longitudinais. Deve ser geometricamente intuitivo (e de fato é verdade) que os campos vetoriais longitudinais são precisamente os campos que geram as transformações de calibre (eles são novamente apenas outra encarnação da álgebra de Lie de calibre). Portanto, existem tantas formas longitudinais básicas 1 $ \ eta ^ a $ quantas restrições e anti-fantasmas $ P_a $ .Uma vez que existe a ação natural $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ por definição do dual, também é natural definir apenas o colchete de Poisson em um espaço de fase ampliado com coordenadas $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ por $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ para que os pares $ (\ eta ^ a, P_a) $ ajam como pares adicionais de variáveis canônicas. A derivação é estendida para $ \ eta $ simplesmente por $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . As funções neste espaço de fase ampliado agora são atribuídos a um número fantasma puro com base em seu grau no $ \ eta $ .

Dada qualquer função no espaço de fase ampliado, o fantasma o número é simplesmente o número fantasma puro menos o número anti-fantasma.

O bom do número fantasma é que ele é cobrado de um determinado gerador – é medido pelo operador ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ que cumpre $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ para qualquer função de fantasma definido número. O número fantasma é fisicamente importante porque ser um estado de número fantasma zero é, junto com a condição de ser invariante BRST, a condição necessária e suficiente para ser um estado físico.

A obtenção dessa condição, no entanto, requer agora obtendo o diferencial de BRST adicionando outro diferencial $ \ mathrm {d} $ a $ \ delta $ , e mostrando que $ \ delta + \ mathrm {d} $ dá, quando ” pequenas perturbações ” são adicionados a ele, o operador nilpotent necessário para o formalismo BRST. (A derivação disso é muito técnica, e às vezes conhecida como o ” teorema da teoria de perturbação homológica “) Examinando então novamente as ações de $ \ mathrm {d}, \ delta $ , descobre-se que as funções invariantes do calibre são precisamente aquelas invariantes sob o operador BRST com número fantasma zero, então a teoria quântica também deve impor essa restrição.

---

^{1 ” cuja homologia computa ” é a matemática falar por ser um operador $ \ delta $ , onde as funções invariáveis do medidor são precisamente as funções com $ \ delta (f) = 0 $ e onde identificamos $ f $ e $ g $ se houver um $ h $ tal que $ \ delta (h) = f – g $ . Além disso, isso fica um pouco mais complicado no caso de restrições redutíveis.}

^{2 No caso de restrições irredutíveis, isso já calcula corretamente o medidor -funções variantes, e pode-se, em princípio, parar aqui. No entanto, é insatisfatório ter adicionado o $ P_a $ , mas não ter variáveis conjugadas adequadamente para eles no formalismo hamiltoniano.}

^{3 Esta definição é o análogo discreto e não conforme à expressão para $ U $ que está escrita na pergunta.}

^{Referência principal: ” Quantização de sistemas de medidores ” por Henneaux / Teitelboim}

---

O caso específico de $ bc $ -CFT

Um ” $ bc $ -CFT ” geral, ou seja, um 2D a teoria de campo conforme com campos semelhantes a fantasmas é fornecida pela ação fantasma $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ parcial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ quando os campos $ b $ e $ c $ têm pesos conformes $ h_b $ e $ h_c = 1 – h_b $ , respectivamente. As funções de espaço de fase com número fantasma zero são convertidas agora em operadores com peso conforme $ 1 $ (uma vez que eles têm números iguais de fantasmas e anti-fantasmas neles, e o peso se comporta aditivamente ).

Isso mostra que os estados físicos primários (pela correspondência de campo de estado de CFTs 2D) em tal teoria devem necessariamente ter peso conforme $ 1 $ .Isso é importante na teoria das cordas, onde um $ bc $ -CFT com $ h_b = 2 $ é adicionado naturalmente ao $ X $ -CFT dos campos da planilha. Para um CFT genérico, todos os primários possíveis poderiam, em princípio, ser estados físicos, mas o procedimento BRST força estados fantasma número zero, ou seja, campos com peso $ 1 $ , como apenas estados físicos permitidos.

Comentários

• Esta é uma resposta muito detalhada, mas você também poderia fornecer um exemplo do uso de números fantasmas em CFT especificamente ?
• @JakeLebovic: Eu adicionei uma breve explicação de como a exigência de número fantasma zero se reflete no caso da teoria das cordas (que é o único caso conhecido por mim em que fantasmas aparecem em um CFT).

Na teoria de campo conforme no plano, você precisa definir um produto interno no espaço de estados de sua teoria. Na teoria das cordas bosônicas, o espaço de estados, isto é, o espaço de Hilbert da teoria $ \ mathcal {H} $ é o espaço da representação da álgebra de Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

Na quantização radial do CFT no plano complexo, a cada estado no espaço de Hilbert da teoria, pode-se associar um operador local no plano complexo, o chamado correspondência operador-estado . O produto interno BPZ neste espaço de Hilbert pode ser definido. A primeira coisa é definir os estados assintóticos $ | 0 \ rangle $ e $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Operador de identidade} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {na origem} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Operador de identidade} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {no infinito} \, \, z = \ infty $$

Esses dois podem ser relacionados por uma transformação conforme $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Pode-se mostrar que nesta transformação conforme os modos $ \ hat {\ alpha} _n $ de um campo $ \ Phi $ de dimensão conforme $ h _ {\ Phi} $ se transformam como:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Então, sob a transformação conforme, temos o seguinte:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Isso, para a álgebra de Virasoro, implica que $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ e $ L_1 $ e suas contrapartes anti-holomórficas $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ e $ \ overline {L} _1 $ aniquilam $ | 0 \ rangle $ e $ \ langle0 | $. Mas esses modos geram o grupo $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, o grupo de transformação conforme global na esfera de Riemann. Assim, $ | 0 \ rangle $ é conhecido como $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – vácuo invariante.

Por outro lado, usando $ (1) $, pode ser mostrado que $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ e $ b_1 $ também aniquilam $ | 0 \ rangle $ e $ \ langle0 | $. A relação de comutação canônica do sistema $ bc $ mostra que:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

então os modos $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ e $ c_1 $ não aniquilam nenhum dos $ \ rvert0 \ rangle $ e $ \ langle0 \ rvert $. O primeiro elemento de matriz diferente de zero para o sistema $ bc $ na esfera de Riemann é assim:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

A conjugação BPZ, isto é, a relação (1) viola o número fantasma em 3 unidades. A ação do sistema $ bc $ tem a seguinte simetria de número fantasma:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

A corrente correspondente é:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Em que $: \ cdots: $ denota a ordem normal.

A origem da violação do número fantasma descrita acima é geométrica. $ j $ é o número de férmions atual de férmions quirais que têm spin inteiro não-convergente ($ b $ e $ c $ têm spin inteiro.) Portanto, tem anomalia gravitacional:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Em que $ \ lambda $ é a dimensão conforme de $ b $. Integrando isso, pode-se ver que a violação do número fantasma em uma superfície do gênero $ g $ Riemann (planilha da teoria das cordas fechadas) é $ 3 (g-1) $. A importância da corrente fantasma é que ela determina os elementos da matriz S diferentes de zero do CFT.