O que, em termos mais simples, é invariância de calibre?

O motivo de ser tão difícil entender o que os físicos querem dizer quando falam sobre “liberdade de medida” é que há pelo menos quatro definições não equivalentes que já vi serem usadas :

• Definição 1: uma teoria matemática tem uma liberdade de medida se alguns dos graus de liberdade matemáticos são “redundantes” no sentido de que duas expressões matemáticas diferentes descrevem exatamente o mesmo sistema físico . Então, os graus de liberdade redundantes (ou “dependentes do medidor”) são “não físicos” no sentido de que nenhum experimento possível poderia determinar exclusivamente seus valores, mesmo em princípio. Um exemplo famoso é a fase geral de um estado quântico – é completamente incomensurável e dois vetores no espaço de Hilbert que diferem apenas por uma fase geral descrevem o mesmo estado. Outro exemplo, como você mencionou, é qualquer tipo de potencial que deve ser diferenciado para produzir uma quantidade física – por exemplo, uma função de energia potencial. (Embora alguns de seus outros exemplos, como temperatura, não sejam exemplos de quantidades dependentes do medidor, porque há um senso físico bem definido de temperatura zero.)

  Para sistemas físicos que são descritos por estruturas matemáticas com uma liberdade de medidor, a melhor maneira de definir matematicamente uma configuração física específica é como uma classe de equivalência de funções dependentes de medidor que diferem apenas em seus graus de liberdade de medidor . Por exemplo, na mecânica quântica, um estado físico não é realmente descrito por um único vetor no espaço de Hilbert, mas sim por uma classe de equivalência de vetores que diferem por um mul escalar geral tiple. Ou mais simplesmente, por uma linha de vetores no espaço de Hilbert. (Se você quiser ter uma ideia, o espaço de estados físicos é chamado de “espaço de Hilbert projetivo”, que é o conjunto de linhas no espaço de Hilbert, ou mais precisamente uma versão do espaço de Hilbert em que os vetores são identificados se forem proporcionais um ao outro.) Suponho que você também possa definir “energias potenciais físicas” como conjuntos de funções de energia potencial que diferem apenas por uma constante aditiva, embora na prática isso seja um exagero. Essas classes de equivalência removem a liberdade do medidor por construção, e também são “invariantes no medidor.”

  Às vezes (embora nem sempre) há “uma operação matemática simples que remove todos os graus de liberdade redundantes enquanto preserva todos os graus físicos. Por exemplo, dada uma energia potencial, pode-se tomar o gradiente para produzir um campo de força, que é diretamente mensurável.E no caso do clássico E & M, existem certas combinações lineares de derivadas parciais que reduzem os potenciais a $ {\ bf E} $ e $ {\ bf B} diretamente mensuráveis $ campos sem perder nenhuma informação física. No entanto, no caso de um vetor em um espaço de Hilbert quântico, não existe uma operação derivada simples que remova a liberdade de fase sem perder nada mais.

• Definição 2: O mesmo como Definição 1, mas com o requisito adicional de que os graus de liberdade redundantes sejam locais . Isso significa que existe algum tipo de operação matemática que depende de uma suavização arbitrária função $ \ lambda (x) $ no espaço-tempo que deixa os graus físicos de liberdade (ou seja, as quantidades fisicamente mensuráveis) invariantes. O exemplo canônico, é claro, é que se você tomar qualquer função suave $ \ lambda ( x) $, então adicionando $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ ao quadripotencial eletromagnético $ A_ \ mu (x) $ deixa as quantidades físicas (o $ {\ bf E} $ e $ {\ bf B } $ campos) inalterados. (Na teoria de campos, o requisito de que os “graus físicos de liberdade” não sejam alterados é expresso como exigindo que a densidade Lagrangiana $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ seja inalterada , mas outras formulações são possíveis.) Esta definição é claramente muito mais estrita – os exemplos dados acima na Definição 1 não contam com esta definição – e na maior parte das vezes em que os físicos falam sobre “liberdade de medida” esta é a definição que eles querem dizer. Nesse caso, em vez de ter apenas alguns graus de liberdade redundantes / não físicos (como a constante geral para sua energia potencial), você tem um número continuamente infinito. (Para tornar as coisas ainda mais confusas, algumas pessoas usam a frase “simetria de calibre global” no sentido da Definição 1 para descrever coisas como a liberdade de fase global de um estado quântico, o que seria claramente uma contradição em termos no sentido da Definição 2.)

  Acontece que, para lidar com isso na teoria quântica de campos, você precisa mudar substancialmente a sua abordagem de quantização (tecnicamente, você precisa “calibrar a integral do seu caminho”) para para eliminar todos os graus de liberdade não físicos. Quando as pessoas falam sobre quantidades “invariantes de calibre” sob esta definição, na prática, elas geralmente se referem aos derivados diretamente mensuráveis fisicamente, como o tensor eletromagnético $ F _ {\ mu \ nu} $, que permanecem inalterados (“invariantes”) sob qualquer transformação de calibre . Mas, tecnicamente, existem outras quantidades invariantes de medidor também, por ex. uma superposição quântica uniforme de $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ sobre todos os $ \ lambda (x) $ possíveis para algum $ A_ \ mu (x) particular. $

  Veja a postagem do blog de Terry Tao para uma ótima explicação desse segundo sentido de simetria de calibre de uma perspectiva mais matemática.

• Definição 3: Às vezes, diz-se que um Lagrangiano possui uma “simetria de calibre” se houver alguma operação que dependa de uma função contínua arbitrária no espaço-tempo que o deixe invariante, mesmo que os graus de liberdade sejam alterados são mensuráveis fisicamente.

• Definição 4: Para uma “teoria de calibre de rede” definida em hamiltonianos de rede local, existe um operador com suporte em cada local de rede que comuta com o hamiltoniano. Em alguns casos, este operador corresponde a uma quantidade fisicamente mensurável.

Os casos das Definições 3 e 4 são um pouco sutis conceitualmente, então não vou para eles aqui – posso abordá-los em um -up pergunta se alguém estiver interessado.

Atualização: Eu escrevi respostas de acompanhamento sobre se há algum sentido em que os graus de liberdade do medidor possam ser fisicamente mensuráveis no caso hamiltoniano e o caso Lagrangiano .

Comentários

• Excelente resposta! Este é um dos melhores explantions (em um único lugar) que eu já encontrei !!!! : D
• Eu fiz a seguinte pergunta sobre as sutilezas entre # 3 e # 4
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Veja a atualização no final da minha resposta para links para meus acompanhamentos.

Eu só entendi isso depois de fazer uma aula de relatividade geral (GR), geometria diferencial e teoria quântica de campos (QFT). A essência é apenas uma mudança de sistemas de coordenadas que precisa ser refletida na derivada. Vou explicar o que quero dizer.

Você tem uma teoria que é invariante sob algum grupo de simetria. Então, na eletrodinâmica quântica, você tem uma densidade Lagrangiana para os férmions (sem fótons ainda) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Este $ \ bar \ psi $ é apenas $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, importante é que é um conjugado complexo.O fato de ser um quatro vetores no espaço de spin não é motivo de preocupação aqui. O que se pode fazer agora é transformar $ \ psi \ em \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ com algum $ \ alpha \ in \ mathbb R $. Então $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ e o Lagrangiano será invariante, pois a derivada não atua na função exponencial, é apenas um fator de fase. Aí você tem uma simetria global.

Agora promova a simetria para uma local, por que não? Em vez de um $ \ alpha $ global global agora tem $ \ alpha (x) $. Isso significa que escolhemos um $ \ alpha $ diferente em cada ponto do espaço-tempo. O problema é que quando transformamos agora, pega-se $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ com a cadeia e as regras de diferenciação do produto. Isso parece uma complicação técnica a princípio.

Há uma maneira mais reveladora de ver isso:
Você tira uma derivação de um campo $ \ psi (x) $. Isso significa tomar um quociente de diferença como $$ \ parcial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ para 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Isso funciona bem com uma transformação global. Mas com a transformação local, você basicamente subtrai dois valores que são medidos de forma diferente. Na geometria diferencial, você tem que os espaços tangentes nos diferentes pontos da variedade são diferentes e, portanto, não se pode simplesmente comparar vetores por seus componentes. É necessária uma conexão com coeficientes de conexão para fornecer transporte paralelo . É semelhante aqui. Agora, promovemos $ \ phi $ de viver com $ \ mathbb R ^ 4 $ para viver no pacote $ \ mathbb R ^ 4 \ vezes S ^ 1 $, pois temos um grupo de medidores U (1). Portanto, precisamos de algum tipo de conexão para transportar o $ \ phi $ transformado de $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ para $ x $. É aqui que se deve introduzir alguma conexão que seja $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Se você conecta isso à densidade de Lagrange para torná-lo $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ e, em seguida, escolha $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ você verá que a densidade Lagrangiana permanece invariável mesmo sob transformações locais, pois o coeficiente de conexão apenas subtrairá o termo indesejado da regra do produto / cadeia.

Na relatividade geral, você tem a simetria sob difeomorfismo arbitrário, o preço é que você tem que mudar a derivada para uma conexão, $$ \ parcial \ para \ nabla: = \ parcial + \ Gama + \ cdots \,. $$

Como você mencionou ter um background de matemática, pode achar interessante receber uma resposta em termos de classes de equivalência.

Uma teoria de calibre é a teoria física em que as quantidades observáveis, como em coisas que você poderia medir com um experimento dado um equipamento de medição perfeito, são classes de equivalência em um espaço vetorial.

O eletromagnitismo é o exemplo mais comum. As teorias da física moderna são sempre escritas como feixes de fibras, onde a variedade subjacente é o espaço-tempo e as fibras são algum espaço tangente associado a cada ponto (chamado de evento) no espaço-tempo. E & M no espaço livre (sem custos presentes) é descrito pela associação de um objeto de 4 componentes chamado $ A _ {\ mu} $ a cada ponto do espaço-tempo, $ x $, e requerendo $ A _ {\ mu} (x) $ para satisfazer as equações de maxwell.

No entanto, as quantidades observáveis, igualmente mensuráveis, na natureza são os campos elétrico e magnético, $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B} (x) $. Eles são derivados de $ A _ {\ mu} (x) $ usando a definição dada neste wiki (observe os elementos da matriz de $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Acontece que a transformação $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ parcial _ {\ mu} f (x) $ para qualquer função duas vezes diferenciável $ f (x) $ dá os mesmos valores dos campos observáveis $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B } (x) $. Portanto, há uma relação de equivalência

$ A _ {\ mu} (x) \ aprox A _ {\ mu} (x) + \ parcial _ {\ mu} f (x) $ .

E, em geral, as teorias de calibre são teorias onde as quantidades observáveis são funções em classes de equivalência de alguns vetores em um espaço vetorial. neste caso, nossos vetores eram $ A _ {\ mu} (x) $ (são vetores no espaço de funções de funções duplamente diferenciáveis no espaço-tempo), e nossa relação de equivalência foi dada acima.

Quanto ao seu final A questão de saber se coisas como a energia total do sistema, sendo determinada apenas até o fator constante em qualquer referencial, torna a dinâmica newtoniana uma teoria de calibre. A resposta é não, na verdade não. Basicamente, se você não está falando sobre uma teoria de campo, um físico não chamará isso de teoria de calibre.

Comentários

• Boa resposta, mas talvez fosse mais preciso dizer que os observáveis em uma teoria de calibre são funções em um conjunto de classes de equivalência de [coisas como conexões e seções de pacote] equivalência de medidor de mod.A frustração da teoria de calibre é que não podemos ‘ saber de muitos casos em que podemos descrever essas funções, exceto fornecendo funções nas conexões e seções.
• Você está certo, minha linguagem é um pouco desleixada. Deve ser algo como ” observáveis são funções nas classes de equivalência de algum espaço vetorial. ”

A invariância do medidor é simplesmente uma redundância na descrição de um sistema físico. Ou seja, podemos escolher entre um número infinito de potenciais vetoriais em E & M.

Por exemplo, um número infinito de potenciais vetoriais pode descrever o eletromagnetismo pela transformação abaixo

$$ A (x) \ para A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

A escolha de um medidor específico (fixação do medidor) pode resolver um problema físico muito mais fácil do que seria se você não corrigisse um medidor.

Normalmente, escolhe-se o medidor de Coulomb: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Deveria ressalte que a invariância de calibre NÃO é uma simetria da natureza e você não pode medir nada associado a ela.

A invariância de calibre é mais útil na teoria quântica de campos e é crucial para provar a renormalizabilidade. Além disso, os elementos da matriz S em QFT requerem um Lagrangiano local e, portanto, uma invariância de calibre.

Como um exemplo de por que introduziríamos o potencial vetorial $ A ^ \ mu $, considere o efeito Aharonov-Bohm que surge devido a propriedades topológicas globais do potencial vetorial. Há ainda outra razão pela qual a invariância de calibre torna a vida mais fácil, reduzindo os graus de liberdade do fóton na chamada covariante ou $ R_ \ xi $ calibre, causalidade, etc. para trabalhar com a teoria quântica de campos. : D

Comentários

• @ user122066 Para referência futura, se você precisar procurar um símbolo, consulte esta questão tex.SE . Mas apenas alguns comandos (La) TeX são suportados no MathJax. Consulte a documentação do MathJax para obter uma lista.
• Para todas as referências do MathJax, verifique: Tutorial básico e referência rápida do MathJax
• @ user122066: você escreveu: ” Agora, é uma propriedade absolutamente crucial da física moderna e podemos muito bem estar perdidos sem ele! ” Acho que você exagera aqui e é isso que torna tal frase ” assustador “. Não há prova de que devemos trabalhar apenas com ” teorias de calibre “. Outras abordagens ainda não foram exploradas.
• @VladimirKalitvianski justo. Existem relações de recursão relacionadas à matriz S que evitam medidores, mas ‘ é muito difícil imaginar algo sendo descoberto que torne a conputação mais fácil do que a invariância de medidores. Você está absolutamente certo. Vou deletar esta parte
• (Também útil para pesquisa de símbolo TeX – Detexify .)

Esses cálculos muitas vezes dependem apenas da diferença entre dois valores, não dos próprios valores concretos . Portanto, você é livre para escolher um zero de sua preferência. Este é um exemplo de invariância de calibre no mesmo sentido que os exemplos de graduação acima?

Sim, realmente é, na definição mais geral de invariância de calibre, é o que os físicos chamam de invariância de medida global . Mais sobre isso a seguir.

Se eu tivesse que escrever uma resposta de uma frase para o seu título, seria esta:

Invariância de calibre é a definição bem definida da lei física sob um mapa de cotação que condensa uma configuração / espaço de parâmetros / coordenadas para um sistema físico em um conjunto de classes de equivalência de configurações fisicamente equivalentes.

Isso é no mesmo sentido que, por exemplo, o produto coset é bem definido no mapa que faz o quociente do subgrupo normal de um grupo. A física de uma configuração é independente da escolha do membro da classe de equivalência .

Em seus termos mais básicos, a invariância do medidor é simplesmente uma afirmação de que há redundância em uma descrição matemática de um sistema físico. Em outras palavras, o sistema tem uma simetria , uma invariância em relação a um grupo de transformações.

Uma simetria de calibre global é aquela em que o espaço de configuração é um produto cartesiano simples ( ie um feixe de fibra trivial) do conjunto de classes de equivalência fisicamente distintas e um parâmetro redundante, como acontece com sua diferença entre dois valores de exemplo. Se a descrição física é uma descrição Lagrangiana, então é aqui que o teorema de Noether vem à tona e identifica as quantidades conservadas, uma para cada parâmetro redundante.O grupo de calibre, i.e. grupo de simetrias, afeta todas as classes de equivalência (fibras) igualmente. A subtração de um potencial constante de um potencial eletrostático é uma simetria e um grande avanço para Corvid Civilization, pois permite que os corvos se sentem em linhas de alta tensão e alegrem-se juntos, discutindo seus pensamentos mais recentes sobre as teorias de calibre e declarando isso ” Nunca mais!” devemos temer que a adição global de 22kV ao potencial eletrostático possa mudar a física do sistema ao qual pertencemos.

No entanto, normalmente quando os físicos falam de uma teoria de calibre, eles querem dizer uma onde o grupo de simetria pode agir de uma forma mais geral, com um membro do grupo diferente atuando em cada ponto do espaço de configuração. O pacote de fibras correspondente não é mais trivial. Embora você quisesse um exemplo mais simples do que a eletrodinâmica, não acho que haja um. A fase adicionada à função de onda do elétron pode ser qualquer função suave de coordenadas e os termos extras que surgem da regra de Leibniz aplicada às derivadas em as equações de movimento da função de onda (Dirac, Schrödinger) são absorvidas exatamente na parte fechada da forma única do potencial EM. A propósito, como um aparte, eu sempre gosto de visualizar o potencial EM no espaço de Fourier, o que podemos fazer com restrições razoáveis ( por exemplo, um postulado de que iremos pensar apenas em distribuições moderadas, por exemplo) , porque a parte espacial da parte redundante dos quatro potenciais é então seu componente ao longo do vetor de ondas ( ie pensado como um vetor de 3), e apenas o componente normal ao vetor de ondas importa fisicamente: é a única parte que sobreviveu $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Há duas coisas que eu acredito que você deve tirar do exemplo EM:

1. Embora isso praticamente leve a um pouco mais de complexidade, conceitualmente, é apenas um pequeno salto do seu exemplo simétrico de medidor global simples; simplesmente permitimos que as simetrias atuem localmente em vez de agirem em todos os pontos do espaço de configuração igualmente;

2. Partindo do eletromagnetismo experimentalmente real , postulamos que esta invariância de calibre m Pode ser relevante de forma mais geral e, portanto, observamos sua presença em outros fenômenos físicos. Isso nada mais é do que uma ação motivada por um palpite. Experimentalmente , achamos que isso é uma coisa frutífera de se fazer. Na física, não há uma visão mais profunda do que os resultados experimentais.

Por último, devo mencionar que as noções de calibre / feixe de fibra também são úteis quando artificialmente declaramos classes de equivalência de configurações baseadas nas necessidades de nosso problema , mesmo se houver uma diferença física entre os membros da classe de equivalência. Um dos exemplos mais adoráveis dessa forma de pensar é Montgomery “s ” Teoria de calibre do gato em queda “. Estudamos classes de equivalência de configuração de gato que são módulos equivalentes isometria euclidiana adequada para formular um espaço em forma de gato , que, no tratamento padrão em que o gato é pensado como um robô de duas seções com junta esférica sem torção acaba sendo o plano projetivo real $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Todo o espaço de configuração é então um feixe de fibra com o espaço de forma $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ como base e o grupo $ SO (3) $ definindo orientações como fibra . O gato pode girar enquanto conserva o momento angular usando deformações cíclicas de sua própria forma, devido à curvatura da conexão que surge da noção de transporte paralelo que está implícito na conservação do momento angular.

Aqui está o exemplo mais elementar de simetria de calibre que posso imaginar.

Suponha que você queira o discutir algumas formigas andando em uma banda de Möbius. Para descrever as posições das formigas, é conveniente imaginar o corte da faixa ao longo de sua largura, de modo que ela se torne um retângulo. Então, você pode me dizer onde está uma formiga, dizendo-me três coisas:

• Sua latitude —sua posição ao longo da largura do retângulo.
• Sua longitude —sua posição ao longo do comprimento do retângulo.
• Sua orientação – se ela está agarrada à superfície superior ou inferior do retângulo.

O significado de longitude depende da localização de aquele corte imaginário. Se você mover o corte, todas as longitudes das formigas “mudam. Não pode haver nenhuma razão física para preferir um corte a outro, porque você pode deslizar a faixa ao longo de seu comprimento sem alterar sua forma ou afetar o comportamento das formigas”. palavras, não pode haver nenhuma noção fisicamente significativa de longitude absoluta, porque a banda tem uma simetria de translação .

Da mesma forma, o significado da orientação depende de como você rotula as superfícies do retângulo como superior e inferior.Não pode haver nenhuma razão física para preferir uma etiqueta a outra, porque você pode trocar as duas superfícies da banda sem alterar sua forma ou afetar o comportamento das formigas. Essa troca é um exemplo de simetria de calibre . Possui algumas características marcantes que não são compartilhadas por simetrias comuns. Vamos dar uma olhada em uma delas.

Para cada simetria de uma situação, há algum aspecto da situação que podem ser descritos de várias maneiras, sem nenhuma base física para escolher entre eles. Às vezes, porém, é útil fazer uma escolha e mantê-la, mesmo que a escolha seja fisicamente sem sentido. Em discussões sobre pessoas navegando na superfície da Terra, por exemplo, quase todos que conheço definem longitude usando um corte que atravessa Greenwich, Londres, principalmente porque algumas pessoas que vivia por lá conquistou o mundo e imprimiu muitas cartas náuticas.

Se fôssemos observar formigas em uma faixa cilíndrica comum, poderíamos ter estabelecido uma noção de orientação com a mesma facilidade. Nós “íamos pintar um lado da banda turquesa para” superior “e o outro lado azul para” inferior “, e seria isso. Em uma banda Möbius, as coisas são mais complicadas, porque uma banda Möbius só tem um lado! você tenta pintar uma superfície turquesa e a superfície oposta de azul, começando em uma pequena região da banda e movendo-se para fora, as áreas turquesa e azul inevitavelmente colidirão. (Em nossa discussão anterior, a colisão estava oculta ao longo do corte de longitude.)

Em uma situação com uma simetria comum, como uma simetria de tradução, você não pode escolher entre as descrições possíveis de uma forma que seja fisicamente significativa. Em uma situação com uma simetria de calibre, você pode nem mesmo ser capaz de escolher entre as descrições possíveis de uma forma que seja globalmente consistente! Você sempre pode, no entanto, escolher descrições consistentes em pequenas regiões do espaço. É por isso que as simetrias de calibre são frequentemente chamadas de simetrias locais .

Tendo tentado uma descrição longa e elementar do que é uma simetria de calibre, eu também gostaria de oferecer um curto e sofisticado. Em nossos modelos físicos mais simples, os eventos ocorrem em uma variedade regular chamada espaço ou espaço-tempo . Uma simetria comum é um difeomorfismo do espaço-tempo que preserva a possibilidade física de eventos. Em modelos mais sofisticados, os eventos ocorrem em um feixe de fibras no espaço-tempo. Uma simetria de calibre é um automorfismo do feixe de fibras que preserva a possibilidade física de eventos.

Em nosso exemplo elementar, a banda de Möbius desempenha o papel de espaço, e as formigas estão andando na banda “s pacote de orientação. O pacote de orientação tem um automorfismo que troca as duas superfícies da banda.

No eletromagnetismo clássico, o espaço-tempo de Minkowski ou alguma outra variedade Lorentziana desempenha o papel de espaço-tempo e o campo eletromagnético é representado por um conexão em um feixe de círculo no espaço-tempo. Na imagem de Kaluza-Klein , as partículas carregadas se movem no feixe de círculo, voando em linhas retas cujas “sombras” no espaço-tempo são os caminhos em espiral que vemos. O feixe do círculo tem uma família de automorfismos que giram as fibras do círculo, que as pessoas imaginativas chamam de simetria $ \ operatorname {U} (1) $ gauge. Esta imagem generaliza para todas as teorias clássicas de Yang-Mills.

Em a imagem Palatini da relatividade geral, uma variedade lisa $ 4 $ -dimensional desempenha o papel do espaço-tempo e o campo gravitacional é representado por um $ \ operatorname {SO} (3,1) $ conexão no pacote de estrutura do manifold. Suspeito que as simetrias de calibre da gravidade linearizada que você mencionou são automorfismos do feixe de quadros.

Na imagem de Einstein da relatividade geral, as simetrias são difeomorfismos do espaço-tempo. Classifico-as como simetrias comuns, em vez do que simetrias de calibre. Como tparker mencionado , no entanto, nem todos usam o termo “simetria de calibre” da mesma maneira.

Comentários

• Maravilhoso! A ideia da banda M ö bius bius é simplesmente linda e realmente captura toda a essência de ideias muito mais complicadas. Também gosto disso, é como o fluxo de ideias mostra como o simples generaliza perfeitamente.
• Ei, o que ‘ s com os três votos? Não sei o que ‘ está errado com os lurkers neste site, esta é a melhor resposta para essa pergunta até agora, dados os requisitos do OP ‘ s. De qualquer forma, um dos votos é meu.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, eu não ‘ não me preocuparia com o número de votos. Se você conhecer alguém que possa se beneficiar desta resposta, basta vinculá-lo a ela diretamente.Como referência, funciona tão bem na parte inferior da lista de respostas classificadas por votação quanto na parte superior.

As teorias de calibre descrevem a conectividade de um espaço com pequenas dimensões extras simétricas

Comece com um cilindro infinito (o produto direto de uma linha e um pequeno círculo). O cilindro pode ser torcido. Para evitar apelar para conceitos que estou tentando explicar, direi apenas que o cilindro é feito de tela de arame: círculos uniformemente espaçados soldados a fios em toda a extensão dele. Os fios longos podem girar como uma unidade, introduzindo uma torção angular entre cada par de círculos adjacentes. É claro que qualquer configuração pode ser continuamente deformada em qualquer outra: todos esses cilindros são equivalentes da perspectiva da proverbial formiga rastejando sobre eles.

Substitua a linha por um loop fechado, de modo que o produto seja um toro (e pense no toro como um donut de malha, embora variar o plano dos pequenos círculos como que tecnicamente quebra a analogia). Qualquer porção do donut menor que a coisa toda pode ser deformada na mesma porção de qualquer outro donut, mas os donuts como um todo às vezes não podem ser, porque a torção da rede em torno do donut não pode ser alterada. As classes de donuts equivalentes são completamente caracterizadas por esta torção de rede, que é inerentemente não local.

Substitua o laço (não o pequeno círculo) por um coletor de duas ou mais dimensões. É verdade, embora não seja óbvio, que a parte física da conexão é completamente dada pela torção integrada em torno de todos os loops fechados ( Loops de Wilson ).

$ A $ e $ F $ quantificam a conectividade

No caso discreto, a conexão pode ser descrita mais simplesmente dando a torção entre círculos adjacentes. No limite do contínuo, isso se torna um “gradiente de torção” em cada círculo. Este é $ A_ \ mu $, o chamado potencial vetorial.

Qualquer deformação contínua pode ser descrita por um campo escalar $ \ phi $ que representa a quantidade de cada círculo é torcido (em relação a onde estava antes). Isso altera $ A_ \ mu $ pelo gradiente de $ \ phi $, mas não altera nenhuma quantidade física (integral de loop).

A descrição em termos dos loops de Wilson, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, é mais elegante porque inclui apenas quantidades fisicamente significativas, mas é não local e altamente redundante. Se o espaço for simplesmente conectado, você pode evitar o r edundância e não localidade, especificando a torção apenas em torno dos loops diferenciais, uma vez que loops maiores podem ser construídos a partir deles. O chamado tensor de campo, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, dá exatamente isso.

(Se o espaço for não apenas conectado, você ainda pode se safar com os loops diferenciais mais uma torção de rede para cada elemento de um conjunto gerador do grupo fundamental . O toro era, é claro um exemplo simples disso.

A força vem do efeito Aharonov – Bohm

Considere um campo escalar definido sobre todo o espaço (ao contrário dos campos anteriores, este assume um valor em cada ponto de cada círculo). O campo é zero em todos os lugares, exceto por dois feixes estreitos que divergem de um ponto e se reconvergem em outro lugar. (Talvez eles sejam refletidos por espelhos; talvez o espaço seja positivamente curvo; não importa.)

A menos que o campo seja constante ao longo dos círculos, o comportamento de interferência dos feixes dependerá da diferença na torção ao longo dos dois caminhos. Essa diferença é apenas a integral em torno do loop fechado formado pelos caminhos.

Este é o efeito Aharonov – Bohm (generalizado). Se você restringir a caminhos diferencialmente diferentes e usar $ F _ {\ mu \ nu} $ para calcular o efeito sobre a interferência, obterá a lei da força eletromagnética.

Você pode decompor o campo em componentes de Fourier. O espectro de Fourier é discreto na pequena dimensão. O harmônico zero (constante) não é afetado pela torção. O segundo harmônico é afetado duas vezes mais que o primeiro. Estas são as cargas elétricas.

Na realidade, por razões desconhecidas, apenas certos harmônicos extra-dimensionais parecem existir. Se existir apenas o primeiro harmônico, há uma descrição equivalente do campo como uma única amplitude complexa + fase em cada ponto das grandes dimensões. A fase é relativa a um ponto zero local arbitrário que também é usado pelo potencial vetorial. Quando você compara a fase com a fase em um ponto próximo, e há uma torção de potencial vetorial de $ \ mathrm d \ theta $ entre eles, você precisa ajustar o valor do campo em $ i \, \ mathrm d \ theta $ . Esta é a origem da derivada covariante de calibre .

Círculos generalizam para outras formas

Se você substituir o círculos com 2 esferas, você obtém uma teoria de calibre $ \ mathrm {SU} (2) $ gauge. É mais desagradável numericamente: o grupo de simetria é não comutativo, então você tem que trazer o mecanismo da álgebra de Lie. Geometricamente, porém, nada muita coisa mudou. A conectividade ainda é descrita por uma torção na rede em torno dos loops.

Uma diferença infeliz é que a descrição da carga como harmonias extra-dimensionais cs não funciona mais. Os harmônicos esféricos fornecem apenas as representações de spin inteiro, e todas as partículas conhecidas estão nas representações de spin 0 ou spin ½ do modelo padrão $ \ mathrm {SU} (2) $, portanto, as partículas que são afetadas por $ \ mathrm {SU} (2) $ force não pode ser descrito dessa maneira. Pode haver uma maneira de contornar esse problema com um tipo de campo mais exótico.

Não tenho nada esclarecedor a dizer sobre a parte $ \ mathrm {SU} (3) $ do grupo de medidores do Modelo Padrão, exceto para apontar que todo o grupo de medidores SM pode ser incorporado em $ \ mathrm {Spin} (10) $ , e eu acho que é mais fácil visualizar uma esfera 9 do que uma forma com $ \ mathrm {SU} (3) $ simetria.

A relatividade geral é semelhante

Na relatividade geral, o tensor de curvatura de Riemann é análogo ao tensor de campo; ele representa a rotação angular de um vetor transportado em torno de um loop diferencial. O efeito Aharonov-Bohm é análogo ao déficit angular em torno de uma corda cósmica . Teoria de Kaluza-Klein originalmente se referia a uma maneira específica de obter eletromagnetismo da relatividade geral em cinco dimensões; agora, muitas vezes se refere à ideia geral de que as forças de calibre do Modelo Padrão e a relatividade geral são provavelmente aspectos diferentes da mesma coisa.

Na Eletrodinâmica Clássica (CED), a invariância do calibre significa independência dos campos elétricos e magnéticos de uma “escolha” particular dos potenciais $ \ varphi $ e $ \ bf {A} $. A equação para potenciais depende, é claro, da escolha particular do “medidor” e eles fornecem soluções diferentes para diferentes medidores.

Em QM e QED, a invariância do medidor também significa “invariância” do forma de equações (as soluções ainda são diferentes, mas fisicamente equivalentes).

Mas deve-se manter lembre-se de que qualquer mudança útil de variável também é aceitável se os resultados correspondentes permanecerem fisicamente os mesmos. Para isso, a forma das equações não deve ser obrigatoriamente “invariante”.