Tanto quanto eu entendo, a energia de ligação gravitacional de alguma distribuição de massa é o negativo de sua energia potencial autopotencial gravitacional.
Tentei calcular o último para uma esfera sólida de raio $ R $, massa $ M $ e densidade uniforme.
Pelo teorema de shell (ou lei da gravitação de Gauss), a intensidade do campo a uma distância $ r $ do centro da esfera é dada por
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
onde $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ é a massa encerrada em uma esfera de raio $ r $.
O potentiel gravitacional em a distância $ r $ criada por esta distribuição é, portanto,
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
A energia do potentiel autogravitacional é a soma das energias potentiel gravitacionais $ U \ cdot dm $ sobre todos os elementos de massa $ dm $ na distribuição.
Vamos proceder pela integração da casca. A massa contida na casca do raio interno $ r $, raio externo $ r + dr $ é simplesmente
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
A energia potencial própria do esfera é, portanto,
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
que é exatamente a metade da resposta correta.
Eu verifiquei meu trabalho várias vezes em busca de erros simples, mas não consigo localizar a origem do fator de erro de $ 2 $. Isso me leva a acreditar que há algo fundamentalmente errado com a forma como calculei a energia.
Onde está o problema?
Comentários
- Em seu MathJax você ' está usando \ big para colchetes grandes, o que não ' não funciona. Use a correspondência \ esquerda e \ direita. \ Grande é um fixo tamanho, enquanto \ left e \ right serão redimensionados automaticamente para o tamanho necessário para o conteúdo entre colchetes.
Resposta
O problema é a maneira pela qual você está formando seus shells — se eles vêm de dentro ou de fora dos shells anteriores. Para energia de ligação, isso significa a quantidade de energia que seria necessária para remover sequencialmente cada camada sucessiva até o infinito. Assim, o potencial precisa ser calculado com respeito ao infinito, não a origem; sua expressão para potencial sugeriria que cada casca começa na origem e se expande através da massa existente até um raio $ r $, em vez de coalescer em torno de um núcleo já existente de fora. Portanto, calcule o potencial como
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Isso deve resolver o fator de dois.
Terminologia à parte, acho que podemos concordar sobre o conceito de qual magnitude dos meios de energia, então positivo ou negativo não tem um grande impacto. Para ter uma ideia da integral acima, vamos imaginar uma única partícula que está sendo puxada pela gravitação da bola ainda em formação (com raio $ r $), em vez de uma casca. À medida que a partícula vem do infinito, o potencial que ela sentirá será o potencial gravitacional newtoniano normal, até atingir a superfície da bola. Agora, cada pedacinho de a massa $ dm $ de uma casca sendo adicionada também sentirá esse mesmo potencial; podemos pensar na casca como sendo muitas pequenas partículas vindas de todas as direções ao mesmo tempo. Cada vez que adicionamos uma casca desta forma, $ r \ rightarrow r + dr $, então $ M_ {enc} $ aumenta de acordo, o que consideramos na integral mais de $ r $. Isso está em contraste com a integral com limites $ [0, R] $ na questão, porque tal integral é mais semelhante à quantidade de energia que seria necessária para “inflar” camadas de massa para fora da origem. Tal processo exigiria que a bola fosse totalmente permeável à medida que as conchas inflam para a superfície, mas se fosse esse o caso, a bola inteira imediatamente desabaria sobre si mesma novamente devido à sua falta de rigidez.
Comentários
- Ok. Primeiro, eu realmente não ' não sei qual é a energia de ligação gravitacional. Eu só sei o que é energia de autopotencial. A energia potencial de um sistema de massa $ m_1, … m_N $ é a soma de $ U_ {i, j} $ em todos os pares $ (i, j) $ com $ i < j $ onde $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ sendo a distância entre as massas $ m_i $ e $ m_j $. Foi isso que tentei calcular.
- Em segundo lugar, sua integral não ' não faz sentido para mim. $ M_ {enc} (r) $ deve ser substituído por $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh está correto: você interpretou a definição errada da energia de ligação. Consulte este artigo da Wikipedia para o cálculo completo: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Na verdade, o que eu calculei é a energia potentiel autogravitacional, que é apenas o negativo da energia de ligação. Descrevi a energia autopotencial acima, ou seja, simplesmente a energia da distribuição de massa devido ao seu próprio campo gravitacional.
- Acrescentei esclarecimentos na resposta, uma vez que não ' não cabe aqui nos comentários. A diferença essencial em nossas duas quantidades é a quantidade de energia envolvida na remoção de todos os pedaços de massa infinitamente distantes um do outro versus a quantidade de energia necessária para evitar que a bola entre em colapso. A primeira é a energia de ligação gravitacional (devido ao autopotencial), e a última é mais uma medida da rigidez mínima da matéria envolvida.
Resposta
Existem problemas com a forma como você calcula o potencial e como você está calculando a energia de ligação gravitacional.
O campo gravitacional dentro da esfera é radialmente para dentro e de magnitude $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. O campo gravitacional fora da esfera é radialmente para dentro e de magnitude $ GM / r ^ 2 $.
O potencial gravitacional é o trabalho realizado por unidade de massa trazendo essa massa do infinito para $ r $.
O potencial em um raio $ r $ dentro da esfera é $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
No entanto, isso não é necessário para calcular a energia de ligação de uma esfera, uma vez que a energia de ligação gravitacional é a soma das energias necessárias para remover camadas de massa da superfície de uma esfera para o infinito ( imagine descascar camadas da superfície até chegar ao centro).
O potencial na superfície de uma esfera de massa $ M “$ é $ -GM” / R “$, onde a densidade constante $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Assim, $$ V (R “) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ e a energia de ligação é igual para $ V (R “) $ multiplicado pela massa de uma casca, $ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $, integrado sobre cascas de massa de zero ao raio final da estrela.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$