Continuo vendo os termos condições de primeira ordem e condições de segunda ordem usados em minhas aulas de economia de graduação sobre funções de produção, monopólios, etc., mas não tenho ideia o que esses termos significam. Parece um termo totalmente ambíguo. Que tipo de condições?
Alguém pode explicar o que esses termos significam? Se for dependente do contexto, forneça alguns dos significados mais elementares que você associa ao termo.
Resposta
Suponha que você tenha uma função diferenciável $ f (x) $, que deseja otimizar escolhendo $ x $. Se $ f (x) $ é utilidade ou lucro, então você deseja escolher $ x $ (ou seja, pacote de consumo ou quantidade produzida) para tornar o valor de $ f $ o maior possível. Se $ f (x) $ é uma função de custo, então você deseja escolher $ x $ para tornar $ f $ o menor possível. FOC e SOC são condições que determinam se uma solução maximiza ou minimiza uma determinada função.
No nível de graduação, o que geralmente acontece é que você precisa escolher $ x ^ * $ de forma que a derivada de $ f $ seja igual a zero: $$ f “(x ^ *) = 0. $$ Este é o FOC. A intuição para esta condição é que uma função atinge seu extremo (máximo ou mínimo) quando sua derivada é igual a zero (veja a imagem abaixo). [Você deve estar ciente de que existem mais sutilezas envolvidas: procure termos como “soluções de canto vs interiores”, “máximo / mínimo global vs local” e “ponto de sela” para saber mais].
No entanto, como a imagem ilustra, simplesmente encontrar $ x ^ * $ onde $ f “(x ^ *) = 0 $ não é suficiente para concluir que $ x ^ * $ é a solução que maximiza ou minimiza a função objetivo. Em ambos os gráficos, a função atinge uma inclinação zero em $ x ^ * $, mas $ x ^ * $ é um maximizador no gráfico esquerdo, mas um minimizador no gráfico direito.
Para verificar se $ x ^ * $ é um maximizador ou um minimizador, você precisa do SOC. O SOC do maximizador é $$ f “” (x ^ *) < 0 $$ e o SOC do minimizador é $$ f “” (x ^ *) > 0. $$ Intuitivamente, se $ x ^ * $ maximizar $ f $, a inclinação de $ f $ em torno de $ x ^ * $ está diminuindo. Pegue o gráfico à esquerda, onde $ x ^ * $ é um maximizador. Vemos que a inclinação de $ f $ é positiva à esquerda de $ x ^ * $ e negativa à direita. Assim, em torno da vizinhança de $ x ^ * $, conforme $ x $ aumenta, $ f “(x) $ diminui. A intuição para o caso do minimizador é semelhante.
Comentários
- Mas por que ' não é chamado " Teste de primeira derivada " ainda é um mistério para mim.
Resposta
Por exemplo, quando você está falando sobre maximização do lucro a partir de uma função de lucro $ \ pi (q) $, a principal condição para um máximo é que: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Este é o FOC (primeira ordem condição).
Porém, para ter certeza de que o que você encontrou acima é um máximo verdadeiro , você também deve verificar uma condição “secundária” que é: $$ \ frac {\ parcial ^ 2 \ pi} {\ parcial q ^ 2} < 0 $$ Isso é chamado de SOC (condição de segunda ordem).
Resposta
O objetivo é encontrar um máximo (ou mínimo) local de uma função.
Se o f unção é diferenciável duas vezes:
- O teste da primeira derivada dirá se é um extremo local.
- O teste da segunda derivada dirá se é “um máximo local ou um mínimo.
Caso você função não é diferenciável, você pode fazer um teste extremo mais geral.
Nota: é impossível construir um algoritmo para encontrar um máximo global para uma função arbitrária .
Os economistas neoclássicos certamente renomearam esses dois métodos matemáticos para condições de primeira ordem e condições de segunda ordem para parecer legal ou por outras razões históricas. Por que usar um nome amplamente usado quando você pode apenas inventar um?
O termo também é usado em maximização restrita quando eles usam Método do multiplicador de Lagrange e Condições de Karush – Kuhn – Tucker . Novamente, eu não acho que o termo seja usado por não economistas.