O que significa o termo exponencial na transformada de Fourier?

É uma exponencial complexa que gira para sempre no círculo unitário do plano complexo:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Você pode pensar na transformação de Fourier como um cálculo correlação entre $ f (t) $ e uma exponencial complexa de cada frequência, comparando quão semelhantes são. Exponenciais complexas como essa têm a boa qualidade de que podem ser temporais- deslocados multiplicando-os com um número complexo de magni unitário tude (um exponencial complexo constante). Se o resultado da transformada de Fourier em uma determinada frequência for um número complexo não real, então o exponencial complexo dessa frequência pode ser multiplicado por esse número complexo para fazê-lo deslocar no tempo de modo que a correlação com $ f (t) $ é maximizado.

Se você não gosta de pensar sobre números imaginários, números complexos e funções, você pode, alternativamente, pensar no exponencial complexo no FT como apenas uma abreviatura para misturar uma onda senoidal e uma onda cosseno (da mesma frequência) em uma única função que requer menos giz no quadro-negro para escrever.

Seja a transformada de Fourier ou a transformada de Laplace ou a transformada Z, etc., o exponencial é a autofunção de Operadores lineares e invariantes no tempo (LTI) . se uma função exponencial de “tempo” entra em um LTI, surge uma exponencial igual a ela (mas dimensionada pelo valor próprio). o que o F.T. o que faz é decompor uma função geral em uma soma desses exponenciais. isso pode ser visto olhando para a inversa Transformada de Fourier.

A transformação de Fourier:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

converte uma função em uma integral de funções harmônicas. Você pode pensar nisso como pecados e cossenos porque $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. A transformada de Fourier como uma forma contínua da série de Fourier que transforma qualquer sinal periódico em uma soma de outros sinais periódicos reais (harmônicos):

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

Na Transformada de Fourier, você pode pensar nos coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ passando pelos valores de uma função contínua. Para levar a comparação mais adiante, há uma versão complexa da série:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Comentários

• Tente se limitar a uma variável independente, seja $ t $ ou $ x $, mas não ambas. Além disso, tente encontrar uma palavra melhor do que ‘ hearken ‘, que não ‘ não faz sentido aqui.
• Você também perde $ \ omega $ nos argumentos das sinusóides e da função exponencial: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. Eu preciso de $ \ omega $? A transformada de Fourier tem $ e ^ {i \ omega t} $, mas na série, ” $ n $ ” ocupa o lugar de $ \ omega $. Não está ‘ isso certo?
• Não, $ \ omega = 2 \ pi / T $, onde $ T $ é o período de $ f (t) $, ou seja, a menos que $ T = 2 \ pi $ você precise de $ \ omega $.
• Ok. Entendo o que você quer dizer.

Considere o caso $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Então

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Quando $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , ambos os integrantes oscilam em torno de zero e os integrais são efetivamente zero.Os únicos resultados diferentes de zero são

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

que geralmente é expresso como $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Em palavras, para qualquer valor de argumento $ \ omega $ , o $ e ^ {- i \ omega t} $ fator traduz o componente de $ f (t) $ naquela frequência em $ 0 $ e todos os outros componentes longe de zero. Então, a integral infinita produz uma medida da força do componente em $ 0 $ .

Observe que se $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , então $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . O que isso realmente significa é que o sinal de $ \ omega_0 $ pode ser deduzido de forma inequívoca da função $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Não pode ser deduzido de $ \ cos (\ omega_0 t) $ , porque é trigonometricamente idêntico a $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . A transformação de Fourier lida com essa ambigüidade fornecendo respostas diferentes de zero em $ \ omega = \ omega_0 $ e $ \ omega = – \ omega_0 $ . Isso não significa que $ \ cos (\ omega_0 t) $ contém ambas as frequências, porque $ \ omega_0 $ pode ter apenas um valor. A interpretação correta é que $ e ^ {i \ omega_0 t} $ contém mais informações, não menos, do que $ \ cos (\ omega_0 t) $ . A fórmula $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ parece mais informações, mas na verdade é um cancelamento de informações.

Comentários

• ” Isso não significa $ cos (\ omega_0 t) $ contém ambas as frequências, porque $ \ omega_0 $ pode ter apenas um valor. ” Não. O cosseno é a soma de dois tons puros complexos de frequências opostas (dois valores distintos). O que você pode ‘ ver é o sinal de $ \ omega_0 $. Qualquer uma é uma interpretação válida, semelhante a escolher uma raiz quadrada. Portanto, por convenção, as frequências para tons puros com valor real são consideradas positivas.
• @Cedron – Considere uma função $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ E $ \ \ portanto \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Deveria concluímos que $ x ^ 2 $ é algo mais do que apenas uma função na reta numérica real? É secretamente feito de duas funções complexas? Se sim, quais dois? … porque eu poderia facilmente ter definido $ f (x) $ como $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Isso isn ‘ t sobre decomposição de funções. Você poderia ter dito da mesma maneira $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ para um argumento igualmente especioso. A frase ” contém ambas as frequências ” está no contexto do FT (contínuo neste caso). Se $ cos $ tivesse apenas uma frequência, haveria apenas um valor diferente de zero no espectro.
• Não ‘ não acho que faça sentido discutir como muitas frequências que um sinal geral contém, sem acordo sobre o que se entende por ” razoável ” decomposição em funções periódicas. Uma frequência é então apenas uma expressão abreviada para um componente periódico de uma frequência . Uma decomposição razoável não incluirá, por exemplo, componentes que se cancelam completamente ou componentes que são idênticos.
• @Olli – Obrigado pela ajuda editorial com meus deltas. Achei que não ‘ não parecia muito certo, mas não ‘ não percebi por quê.