O operador de rotação QM pode ser expresso em termos de matrizes gama e estou tentando fazer um exercício onde provo um identidade que usa $ \ gamma ^ 5 $ e $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Na minha primeira tentativa fiz isso diretamente na representação Dirac, mas o exercício afirma que não posso fazer isso, alguém pode aconselhar? Existe alguma identidade ou truque que me permita fazer isso?
Para esclarecer, $ \ alpha $ é a seguinte matriz onde os elementos diferentes de zero são as matrizes de Pauli:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
onde
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Comentários
- O que é $ \ alpha $ e $ {\ bf S} $ explicitamente?
- Alpha é a matriz cujas entradas não na diagonal anterior são matrizes de Pauli, mas não tenho certeza de como isso ajuda.
- Como você espera que o ajudemos a provar uma identidade sem uma definição clara de todos os símbolos envolvidos?
- @Hollis Certamente você pode pelo menos dizer o que $ \ alpha $ deve significar. ' não é uma notação padrão como as matrizes gama.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ é tão padrão quanto as matrizes $ \ gamma $. A maioria dos livros de física padrão apresenta $ \ mathbf {\ alpha} $ mesmo antes das matrizes $ \ gamma $.
Resposta
Estou seguindo as convenções da Wikipedia com as seguintes definições $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ onde $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Dito isso, notamos agora $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explicitamente, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Então, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Assim, $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$