Por que a expectativa é igual à média aritmética?

Informalmente, uma distribuição de probabilidade define o frequência relativa de resultados de uma variável aleatória – o valor esperado pode ser pensado como uma média ponderada desses resultados (ponderada pela frequência relativa). Da mesma forma, o valor esperado pode ser considerado como a média aritmética de um conjunto de números gerados na proporção exata de sua probabilidade de ocorrer (no caso de uma variável aleatória contínua, isso não é exatamente verdadeiro, pois valores específicos têm probabilidade $ 0 $).

A conexão entre o valor esperado e a média aritmética é mais clara com uma variável aleatória discreta, onde o valor esperado é

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

onde $ S $ é o espaço amostral. Como exemplo, suponha que você tenha uma variável aleatória discreta $ X $ tal que:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {with probabilidade} 1/8 \\ 2 & \ mbox {com probabilidade} 3/8 \\ 3 & \ mbox {com probabilidade} 1/2 \ end {casos} $$

Ou seja, a função de massa de probabilidade é $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ e $ P (X = 3) = 1/2 $. Usando o fórmula acima, o valor esperado é

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2,375 $$

Agora considere os números gerados com frequências exatamente proporcionais à função de massa de probabilidade – por exemplo, o conjunto de números $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – dois $ 1 $ s, seis $ 2 $ se oito $ 3 $ s. Agora, pegue a média aritmética desses números:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2,375 $$

e você pode ver que é exatamente igual ao valor esperado.

Comentários

• Isso não seria ‘ melhor ilustrado usando o conjunto mais simples de {1,2,2,2,3,3,3,3}? A expressão mostrando a aritmética média desse conjunto é idêntica à expressão que mostra o valor esperado dessa variável (se você converter os produtos ponderados em somas simples).
• Re: ” O expressão que mostra a média aritmética desse conjunto é idêntica à expressão que mostra o valor esperado dessa variável (se você converter os produtos ponderados em somas simples) ” – Sim @Dancrumb, era o ponto inteiro 🙂

A expectativa é o valor médio ou a média de uma variável aleatória, não uma probabilidade distribuição. Como tal, é discreto As variáveis aleatórias são a média ponderada dos valores que a variável aleatória assume, sendo a ponderação de acordo com a frequência relativa de ocorrência desses valores individuais. Para uma variável aleatória absolutamente contínua, é a integral dos valores x multiplicada pela densidade de probabilidade. Os dados observados podem ser vistos como os valores de uma coleção de variáveis aleatórias independentes distribuídas de forma idêntica. A média da amostra (ou expectativa da amostra) é definida como a expectativa dos dados em relação à distribuição empírica dos dados observados. Isso o torna simplesmente a média aritmética dos dados.

Comentários

• +1. Boa captura em relação a: ” A expectativa é o valor médio ou a média de uma variável aleatória, não uma distribuição de probabilidade “. Não ‘ não notei esse sutil uso incorreto da terminologia.

Vamos prestar atenção às definições:

Média é definida como a soma de uma coleção de números dividida pelo número de números na coleção. O cálculo seria “para i em 1 para n, (soma de x sub i) dividido por n. “

O valor esperado (EV) é o valor médio de longo prazo das repetições do experimento que representa. O cálculo seria” para i em 1 a n, soma do evento x sub i vezes sua probabilidade (e a soma de todos p sub i deve = 1). “

No caso de um dado justo, é fácil ver que o a média e o EV são iguais. Média – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 e o EV seria:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = soma (p * x) = 3,50

Mas e se o dado não fosse “justo”. Uma maneira fácil de fazer um dado injusto seria perfurar ah ole no canto na intersecção das 4, 5 e 6 faces.Além disso, vamos dizer agora que a probabilidade de rolar 4, 5 ou 6 em nosso novo e melhorado dado torto é agora 0,2 e a probabilidade de rolar 1, 2 ou 3 é agora 0,133. É o mesmo morrer com 6 faces, um número em cada face e a média para este dado ainda é 3,5. No entanto, depois de rolar este dado muitas vezes, nosso EV é agora de 3,8 porque as probabilidades dos eventos não são mais as mesmas para todos os eventos. / p>

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = soma (p * x) = 3,80

Novamente, vamos ser cuidado e volte à definição antes de concluir que uma coisa será sempre “igual” a outra. Dê uma olhada em como um dado normal é configurado e faça um furo nos outros 7 cantos e veja como os EVs mudam – divirta-se.

Bob_T

A única diferença entre “média” e “valor esperado” é que a média é usada principalmente para distribuição de frequência e a expectativa é usada para distribuição de probabilidade. Na distribuição de frequência, o espaço amostral consiste em variáveis e suas frequências de ocorrência. Na distribuição de probabilidade, o espaço amostral consiste em variáveis aleatórias e suas probabilidades. Agora sabemos que a probabilidade total de todas as variáveis no espaço amostral deve ser = 1. Aqui está a diferença básica. O termo denominador para expectativa é sempre = 1. (ou seja, soma f (xi) = 1) No entanto, não há tais restrições na soma da frequência (que é basicamente o número total de entradas).