Por que a força é um vetor?

Uhm … você começa com um objeto em Descansar e perceber que se você empurrá-lo em direções diferentes, ele se moverá em direções diferentes? Em seguida, observe que você pode organizar mais de duas (três para geometrias planas e quatro para geometrias 3D completas) forças não colineares para se anularem (espero que você tenha feito um exercício de tabela de força em sua classe e feito isso sozinho).

A demonstração em um objeto já em movimento é um pouco menos óbvia, mas você pode pegar as idéias aqui e generalizá-las.

Em certo sentido, isso é tão óbvio que é difícil responder porque quase qualquer coisa que você faz com as forças usa sua natureza vetorial.

Comentários

• Só é óbvio para as pessoas que estão acostumados com vetores. Depois de um tempo, você se acostuma tanto com isso que esquece que era confuso aprender. Você esquece o que fez e não ‘ não sabia na época. Isso torna difícil explicar as coisas bem para os iniciantes. EG seguro aqui ‘ o comentário está correto. Mas alguém que está se perguntando por que a força é um vetor também vai se perguntar por que o momento é. estou confuso de que a energia cinética tem uma direção óbvia, mas não é ‘ t um vetor.
• A energia cinética não tem uma direção. O momento de um objeto tem uma direção. Um objeto de 500 g movendo-se a 2 m / s na direção x positiva não tem o mesmo momento que um objeto de 500 g movendo-se a 2 m / s na direção x negativa, mas ambos têm a mesma energia cinética.
• @BillN mmesser314 está ciente disso, mas é um mal-entendido bastante comum entre os alunos de introdução (especialmente os mais atenciosos). Ele critica a noção de que ” parece que isso tem uma direção ” é uma ferramenta boa o suficiente para fornecer aos alunos a distinção entre vetores e não vetores. Eu discordo porque ‘ prefiro lidar com a questão da energia cinética do que tentar dar aos alunos introdutórios uma definição mais abstrata do ‘ vetor ‘, mas é um ponto que vale a pena considerar.
• @dmckee Sim, eu estava acenando meu caminho em Biot-Savart hoje tentando explicar por que a corrente, $ I $, não é ‘ um vetor, mas $ d \ vec {\ ell} $ é. Quase engasguei enquanto resmungava. 🙂 Esse ‘ ainda é um vetor insatisfatório para mim, mas eu seguro meu nariz e sigo em frente.
• @BillN Eu acho que seu exemplo de KE é um bom exemplo de por que isso pode ser complicado para alguns novatos em física. Acho que ‘ não é necessariamente óbvio que a KE não tem um componente de direção até que você ‘ tenha feito alguns experimentos que mostram que há um escalar ” energia ” que vale a pena prestar atenção.

Vetores são coisas que adicionam como pequenas setas. As setas adicionam a ponta à cauda.

O número de rochas não é um vetor. 2 rochas + 2 rochas = 4 rochas.

O deslocamento é um vetor. Se você mover 2 pés para a esquerda e 2 pés para a esquerda novamente, você moveu 4 pés. Duas setas de 2 pés de comprimento apontando para a esquerda adicionadas da ponta à cauda são equivalentes a uma seta de 4 pés de comprimento apontando para a esquerda.

Se você mover 2 pés para a esquerda e 2 pés para a direita, você voltou ao início. Isso é o mesmo que não se mover. Você não pode adicionar rochas desta forma.

Adicionações de força assim. Duas pequenas forças à esquerda são equivalentes a uma grande força à esquerda. Forças iguais à esquerda e à direita são equivalentes a nenhuma força. porque a força é um vetor.

Editar – Os comentários levantam um ponto que eu ignorei. Este ponto geralmente não é levantado ao introduzir vetores.

Os matemáticos definem um vetor como coisas que se comportam como pequenas setas quando somadas e multiplicadas por escalares. Os físicos acrescentam outro requisito. Os vetores devem ser invariantes nas transformações do sistema de coordenadas.

Uma pequena seta existe independentemente de como você a olha. Uma pequena seta não muda quando você vira, agora está voltada para a frente. Da mesma forma, as pequenas setas não mudam se você girar a seta para que fique voltada para frente.

Isso ocorre porque o espaço é homogêneo e isotrópico. Não há lugares ou direções especiais no espaço que mudariam você ou uma seta se movida para um novo local ou orientação. (Se você se afastar da gravidade da Terra, será diferente. Se isso for importante, você também deve mover a Terra.)

Por outro lado, um escalar é um número único que não muda sob as transformações do sistema de coordenadas. O número de rochas é um escalar.

As coordenadas que descrevem uma mudança de vetor quando o sistema de coordenadas é alterado. O componente esquerdo de um vetor não é escalar.

Há um espaço vetorial matemático 1-D paralelo à coordenada esquerda de um vetor. Se você girar o sistema de coordenadas, ele pode ser paralelo ao que se tornou o componente de avanço. Um físico não diria que é um espaço vetorial.

Comentários

• O que você explicou também corresponde a um escalar assinado. Você deve ter incluído um ” forward ” ou ” up ” movimento para torná-lo mais claro.
• @RalfKleberhoff – Verdadeiro. Você levantou um bom ponto.
• @RalfKleberhoff Como um escalar sinalizado não é um vetor em uma única dimensão? Mesmo. Isso sempre me confundiu. Parece ter muito, muito mais em comum com vetores do que com escalares.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Boa pergunta. Eu atualizei minha resposta para resolver isso.

Um pequeno detalhe: a força é não um vetor. Assim como o momentum, é um covetor ou forma única e covariante. Você pode ver isso de várias maneiras:

• a partir do princípio do trabalho virtual: força é uma função linear que mapeia deslocamentos infinitesimais $ \ delta \ mathbf {x} $ (um vetor) para mudanças infinitesimais em energia $ F \ delta \ mathbf {x} $ (um escalar) e, portanto, um covetor por definição.
• Segunda lei de Newton $ F = ma $: a aceleração é um vetor, cujo índice é “reduzido” pela massa para dar força.
• forças conservativas surgem do diferencial de energia potencial, $ F = -dV $, e o diferencial de uma função é uma forma (covariante).

A diferença entre um vetor e covetor pode não fazer sentido se você “Estamos apenas começando a aprender física e, por enquanto, saber que as forças podem ser” adicionadas ponta a ponta “como vetores pode ser o suficiente para cálculos práticos. Mas é algo que você deve começar a prestar atenção conforme sua compreensão amadurece: como a análise dimensional, acompanhar cuidadosamente o que são seus objetos físicos, matematicamente, é útil tanto para construir um entendimento mais profundo quanto para detectar erros.

Comentários

• Acho que este é um comentário útil porque ilustra que ” esta é a maneira mais natural de pensar sobre força ” não é necessariamente verdadeiro. Covectors são coisas bastante naturais e você pode imaginar um currículo que funcionasse com eles tanto quanto com vetores. É uma tradição do nosso sistema educacional que não o fazemos (pelo menos explicitamente).
• @FrancisDavey Eu prefiro dizer que a tradição é que não fazemos a distinção entre vetores e convetores até muito tarde , e apenas chamá-los de todos os vetores. (Eu não ‘ aprendi a distinção explicitamente antes de estudar relatividade geral, ou possivelmente mecânica quântica com sutiãs e kets. Isso deveria ‘ ve foram explícitos no primeiro curso de álgebra linear, onde apareceram como vetores de coluna e vetores de linha, mas não foi ‘ t explícito.)
• Não vale a pena uma votação negativa, mas definitivamente não vale um voto positivo. Eu ‘ não estou entusiasmado com esta ” como as coisas transformam ” definição do que constitui um ” vetor “. A definição matemática de um vetor é muito mais simples: os vetores são membros de um espaço vetorial – um espaço dotado de duas operações, que obedecem a oito axiomas simples. Por esta definição, as forças (na mecânica newtoniana) são vetores.
• @DavidHammen Um ” vetor ” pode significar ou 1) um vetor tangente , isto é, um elemento do feixe tangente (ou mais geralmente, os (0,1) -tensores de uma álgebra de tensores) ou 2) um elemento de algum espaço vetorial geral. Normalmente em física, quando dizemos ” vetor “, queremos dizer ” vetor (tangente) “: não ‘ chamar escalares, funções, 2 tensores ou, na verdade, covetores, ” vetores ” embora tecnicamente todos sejam elementos de um espaço vetorial. Observe que, por definição # 2, até mesmo o OP ‘ s ” é forçar um vetor ou escalar ” é uma pergunta sem sentido!
• Todas essas coisas são vetores genuínos. Nós não ‘ t normalmente os chamamos de vetores porque ‘ não é um recurso útil. Se você ‘ estiver usando uma definição diferente de ” vetor “, ela deve ser explicada .

A aceleração se transforma como um vetor de três rotações (grupo O (3)).

A aceleração se transforma como um vetor 4 sob rotações e impulsos (grupo de Lorentz O (3,1)).

A aceleração pode muito bem ser parte de uma estrutura maior (por exemplo: tensor de 2 índices ) sob um grupo maior de transformações, incluindo rotações, impulsos, deformações e translações.

Meu ponto é, quando você diz que a aceleração (ou força) é um vetor 3 (ou outra coisa), você precisa especifique para qual grupo de transformações. Por exemplo, “a aceleração se transforma como um vetor 3 sob rotações” e é por isso que a chamamos de vetor 3.

Comentários

• Esta questão era claramente sobre a física newtoniana, que o autor não ‘ compreende totalmente. Você ‘ está se intrometendo com estipulações de áreas muito mais complicadas da física (das quais o autor pode nem mesmo precisar). É ‘ é o equivalente a alguém perguntando sobre a lei de Bernoulli ‘ e você pedindo a eles para especificar se o fluido é viscoso. Explique os termos que você usa e compare o nível de tecnicidade com a pergunta.
• @CodyP Não intrometendo de forma alguma! Bem, talvez a teoria dos grupos seja um pouco mais alta do que o necessário aqui, mas … A definição de um vetor está intimamente ligada a como a quantidade se comporta sob a rotação das coordenadas. O fato de simplificarmos essa ideia para ” magnitude e direção ” não ‘ não remove a importância de compreender a rotação dos sistemas de coordenadas e o que ‘ é invariante e o que ‘ não é. Isso pode ser avançado, mas ‘ é essencial para responder ao OP. No nível de Kleppner e Kalenkow, a pessoa deve ser apresentada a uma definição mais ampla de vetores e rotações de coordenadas.
• @CodyP Perguntas em sites Stack Exchange aren ‘ t apenas para o OP. Eles também são um recurso durável para visitantes posteriores. Respostas de níveis variados são desejáveis, embora Gary provavelmente não obtenha a aceitação do OP ‘ s.
• Verdadeiro, mas ‘ ainda é valioso para entender seu público-alvo e definir termos como impulsos, tensor ou mesmo ” grupo de transformações “. Você pode, por analogia, falar sobre os efeitos da viscosidade em uma pergunta sobre a lei de Bernoulli ‘, mas fazer isso sem cuidado soará mais pedante e confuso do que útil e claro.
• @CodyP verdadeiro, mas talvez um dia o OP revisite suas perguntas e entenda isso

A resposta real, em minha opinião, não são alguns argumentos filosóficos subjacentes sobre o que é uma força. A resposta real é que pensar na força como um vetor fornece um modelo que satisfaz o critério mais importante para qualquer modelo: concorda com o experimento. Também é bom e simples, o que é um bônus adicional.

Pensar nas forças como vetores permitirá que você faça previsões do que acontece quando você faz experimentos, especificamente experimentos nos quais você aplica vários forças de uma só vez. Por exemplo, coloque uma caixa de gelo e puxe-a usando cordas com escamas de mola embutidas nelas para medir a magnitude de todas as forças está envolvido. Meça e anote todas as forças e suas direções, pense nas forças como vetores e calcule a força resultante atuando na caixa, que deve dar a você uma previsão de sua aceleração. Em seguida, meça sua aceleração real. Os dois devem concordar, com algum erro.

As pessoas têm feito experimentos como este, tanto mais quanto menos sofisticados, por um longo tempo, e até agora não encontramos nada que indique que pensar em forças como vetores dá o resultado errado. Assim, pensar em as forças como vetores provavelmente fornecerão resultados precisos na próxima vez que precisarmos calcular uma previsão também.

Então, aprendemos a pensar nas forças como vetores porque funciona. E então os filósofos podem argumentar sobre por que funciona, geralmente ao colocá-lo no contexto de um quadro mais amplo, que também resistiu ao teste de experimentos.

Dito isso, é natural maneiras de ter a ideia de até considerar que a força é um vetor. Especificamente, cada força tem uma direção e uma magnitude. Como apontado em outros comentários, isso não significa necessariamente que deve ser um vetor (a energia cinética claramente tem uma direção e uma magnitude, mas geralmente não é considerada um vetor). Mas é suficiente perguntar se poderia ser um vetor e começar a projetar experimentos em torno dessa hipótese.

Comentários

• Mudanças na energia cinética são escalares. Não há energia cinética absoluta; se uma energia cinética absoluta é dada como um vetor, ela é entendida como relativa a um referencial, e basicamente indica a quantidade de energia que seria convertida se o objeto dado parasse de se mover em relação àquele referencial. Não pode ser tratado simplesmente como um vetor; por exemplo, duas massas iguais movendo-se em direções opostas, na mesma velocidade em relação ao referencial, não adicionam energia cinética zero.
• @Kaz Seu ” nenhum comentário ” absoluto também se aplica ao momento, de modo que ‘ não é uma boa razão, já que o momento provou ser útil para pensar sobre como um vetor. Além disso, ” duas massas iguais movendo-se em direções opostas, na mesma velocidade em relação ao referencial, não adicionam energia cinética zero ” Não ‘ não vejo o problema. A energia cinética torna-se energia interna se você considerar os dois objetos como um sistema. O problema aparece quando você muda para um referencial móvel, caso em que a soma do vetor de energia cinética se tornaria diferente de zero. Essa não é uma boa propriedade de transformação de vetor.
• (Claro que se torna diferente de zero. Apenas cansado. O problema real é que em qual vetor diferente de zero ele se torna depende das propriedades internas do sistema. Os dois objetos têm o mesmo tamanho e se movem na mesma velocidade ou um objeto é maior e mais lento? Isso afeta o vetor ” “.)

Eu também já tinha essa pergunta e gastei 5 horas nela. No final, a explicação para isso é que o deslocamento atua como um vetor. E a aceleração, sendo a dupla derivada disso, também age como tal. Por que o deslocamento atua como um vetor ?? Bem, ele segue as regras da trigonometria e os deslocamentos em uma direção são independentes do deslocamento perpendicular a ela. Portanto, definimos conceitos de vetor para abranger esse comportamento. Por que o deslocamento segue as regras da trigonometria ?? Bem, isso foi mais ou menos descoberto pela observação ao invés de derivação. Afinal, a base mais fundamental de tudo em matemática também é a observação e a lógica.

Para tirar o melhor partido de o caminho: você sabe que a força é um vetor de sua definição.

Para demonstrar que realmente é, você faria experimentos: comece prendendo três balanças de mola (como as que os pescadores usam para pesar peixes) uma à outra no mesmo ponto e puxe as outras pontas do escalas horizontalmente em ângulos de 120 graus com igual força diferente de zero F. A configuração está no belo gráfico ascii abaixo, e você pode dizer que as forças são iguais olhando as leituras em cada escala.

 F / / F ----- o \ \ F 

Você também notará que o ponto de fixação no meio permanece estacionário, ou seja, a força resultante é zero.

Se F fosse um escalar, seria impossível adicionar ou subtrair exatamente 3 Fs diferentes de zero em qualquer ordem e obter 0 como resultado.

Agora que você sabe que a força não é um escalar, você tentaria descobrir uma maneira de fazer os três Fs somarem zero e perceberia que, se emparelhar a direção de cada mola com cada F, você pode obter exatamente isso:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Você “d então conduziria outros experimentos, em várias configurações, e descobriria que, em cada caso, tratar a força como um escalar emparelhado com uma direção dá o resultado correto, ponto em que você se sentiria justificado em dizer: para fins de cálculo, a força tem uma magnitude e uma direção .

Um vetor, por outro lado, nada mais é do que uma magnitude emparelhada com uma direção, então você mostrou experimentalmente que, dentro dos limites da medição, força é um vetor .

Depende da natureza de a sua abordagem e a sua interpretação da palavra “vector”. Conceitualmente, um vetor espacial é um objeto matemático usado para encapsular quantidades que possuem magnitude e direção. Quando você aplica uma força a algo, o resultado final no movimento desse objeto depende não apenas de quão forte você o está empurrando, mas também da direção em que você o está empurrando, portanto, é necessário modelar as forças de uma forma que leve o componente de direção em consideração. Isso é tão verdadeiro em três dimensões quanto em uma. Essa é a maneira mais simples de pensar sobre isso.

De uma perspectiva matemática, como você já mencionou, está implícito na definição.

“Concentramos nossa discussão no movimento unidimensional. É natural supor que para o movimento tridimensional, a força, como a aceleração, se comporta como um vetor. “- (Introdução à mecânica) Kleppner e Kolenkow.

O próprio Newton fez da natureza vetorial das forças o primeiro e o segundo corolários de suas três leis do movimento:

Corolário I:
Um corpo por duas forças unidas irá descrever a diagonal de um paralelogramo, ao mesmo tempo que descreveria os lados, por essas forças separadas .

Corolário II:
E, portanto, é explicada a composição de qualquer força direta AD, de quaisquer duas forças oblíquas AC e CD; e, ao contrário, a resolução de qualquer força direta AD em duas forças oblíquas AC e CD: cuja composição e resolução são abundantemente confirmadas pela mecânica.

Em suma, as forças são vetores cartesianos, no sentido matemático do que constitui um veto ou.

A derivação desses corolários no Principia é bastante suspeita. A segunda lei de Newton trata da força resultante no objeto, enquanto a terceira lei de Newton trata de como as forças individuais vêm aos pares. Mas como relacionar essas forças individuais com a força resultante? Ao contrário de Kleppner e Kolenkow, outros textos fazem um trabalho melhor, afirmando que as forças são vetores é, na verdade, a quarta lei do movimento de Newton.

Uma resposta de onda manual (por exemplo, Kleppner e Kolenkow) é afirmar que as forças obviamente agem como vetores e então seguem em frente. Uma resposta não-onda é afirmar axiomaticamente que as forças são vetores e então seguir em frente. Há uma diferença sutil, mas significativa entre essas duas respostas. A resposta do handwave deixa os alunos confusos. A afirmação axiomática convida os alunos a questionar o axioma. A próxima etapa é, obviamente, testar se o axioma se aplica em um ambiente de laboratório.

Na verdade, uma força física é não é um vetor. É uma linha em 3D. Uma linha com uma magnitude. Uma força física contém as seguintes propriedades

• Direção, $ \ mathbf {e} $
• Um ponto em qualquer lugar ao longo da linha, $ \ mathbf {r} $
• Magnitude, $ F $

Para descrever uma força física com um vetor, você combina a magnitude e a direção em $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ um único vetor. Mas ainda faltam as informações necessárias para descrever uma força física.

Você também precisa de um local (o ponto de aplicação ou a linha de ação, como é chamada). Aqui você pode escolher entre um ponto real $ \ mathbf {r} $, ou o momento equipolente sobre a origem $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Se você escolher o último, pode recuperar o ponto com $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

O vetor de força com o qual você está familiarizado é comumente usado porque obedece às regras de álgebra vetorial

• A adição está feita por componente $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• O dimensionamento é feito pelo componente $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Mas as localizações de dois focos não somam como vetores.

Para representar forças físicas com vetores, você precisa de 6 quantidades componentes chamadas parafusos $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ que seguem as regras da álgebra linear e carregam a informação posicional dentro deles, produzindo os resultados geométricos e algébricos corretos.

Comentários

• Esta é a enésima definição de uma força ” vector “?
• Leia esta postagem pra a definição de um vetor de parafuso.

Vamos pensar sobre o que aconteceria se a força fosse não um vetor.

Primeiro, observe que:

As leis da física são invariantes no espaço. Um objeto se comporta da mesma maneira quando acionado por uma força, seja em Paris ou em Pequim.

Além disso, observamos:

As leis da física são invariáveis sob rotação espacial. Chutar uma bola de futebol fará com que ela saia de você, independentemente de você estar voltado para oeste ou leste.

Agora imagine que aplicamos uma força a uma bola apoiada em uma mesa. Digamos que observamos que:

A bola começa a rolar para o leste a uma velocidade de 1 m / s.

Espere. De onde veio o “leste”? Por que a bola não está rolando oeste ? Portanto, concluímos naturalmente:

Deve haver algumas informações adicionais contidas no força que aplicamos à bola.

Essa informação adicional é direção .

De acordo com a 2ª Lei do Movimento de Newton, a força que atua sobre um corpo é proporcional à taxa de variação do momento e está na direção em que a força é aplicado. Agora, pela declaração, você pode ver que a força tem uma magnitude e uma direção. Portanto, é um vetor. Você pode até mesmo vê-lo como o produto escalar da massa (escalar) e da aceleração (vetor), que lhe dará um vetor.