Por que a gravidade da Terra ' é mais forte nos pólos?

A questão é que se aproximamos a Terra de um elipsóide achatado, então a superfície da Terra é uma superfície equipotencial , $ ^ 1 $ ver, por exemplo esta postagem do Phys.SE.

Agora, porque o raio polar é menor que o raio equatorial, a densidade das superfícies equipotenciais nos pólos deve ser maior do que no equador.

Ou, de forma equivalente, a intensidade do campo $ ^ 2 $ $ g $ nos pólos deve ser maior do que no equador.

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$ ^ 1 $ Observe que o potencial aqui se refere ao efeito combinado das forças gravitacionais e centrífugas. Se derramarmos um pouco de água em uma superfície equipotencial, não haverá uma direção de fluxo preferencial.

$ ^ 2 $ Da mesma forma, a intensidade do campo, conhecida como pouco $ g $ , refere-se ao efeito combinado das forças gravitacionais e centrífugas, mesmo que $ g $ seja frequentemente (casualmente e um tanto enganador) referido como a constante gravitacional na superfície da Terra.

Comentários

• O argumento ” você está mais perto do centro de massa ” funciona?
• Legal. Embora a resposta nunca use o termo ” força centrífuga, ” que ‘ está implícito em o argumento, porque a equipotencial é uma equipotencial no referencial rotativo.
• @Floris – O argumento de que ” você está mais próximo do centro de massa ” kinda-sort funciona, onde kinda-sorta significa cerca de 3/2 (em oposição a um) neste caso. Cerca de 2/3 da redução no equador é atribuível ao equador estar 21 km mais longe do centro da Terra. O outro 1/3 é diretamente devido à força centrífuga (e claro que os primeiros 2/3 são indiretamente devido à força centrífuga).
• @DavidHammen – Acho que em meus livros ” gravidade ” é apenas a atração entre dois objetos massivos; a força experimentada por uma massa na superfície da terra é modulada tanto pela distância quanto pela rotação, mas apenas a primeira é ” gravidade ” em meus livros. Além disso, uma vez que OP afirmou que entendia a parte de rotação, eu estava realmente sugerindo focar na maneira mais simples de definir a segunda parte.
• Acho que Lubos escreveu há muito tempo uma resposta que explica de certa forma por que a gravidade devido ao equatorial protuberância é diferente do que se poderia pensar ingenuamente. Eu ‘ verei se consigo descobrir essa resposta.

Muitos lugares afirmam que a gravidade da Terra é mais forte nos pólos do que no equador por dois motivos:

1. A centrífuga a força cancela a gravidade minimamente, mais no equador do que nos pólos.
2. Os pólos estão mais próximos do centro devido à protuberância equatorial e, portanto, têm um campo gravitacional mais forte.

TL; Versão DR: há três razões. Em ordem de magnitude,

1. Os pólos estão mais próximos para o centro da Terra devido à protuberância equatorial. Isso fortalece a gravitação nos pólos e enfraquece-a no equador.

2. A protuberância equatorial modifica como a Terra gravita. Isso enfraquece a gravitação nos pólos e a fortalece no equador.

3. A Terra está girando, então um observador ligado à Terra vê uma força centrífuga. Isso não tem efeito nos pólos e enfraquece a gravitação no equador.

Vejamos como as duas explicações da questão se comparam à observação.A tabela a seguir compara o que um modelo esférico da gravidade menos a aceleração centrífuga prediz para a aceleração gravitacional ao nível do mar no equador ($ g _ {\ text {eq}} $) e no pólo norte ($ g _ {\ text {p}} $) versus os valores calculados usando a fórmula de gravidade Somigliana bem estabelecida $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Erro} \\ g_ \ text {eq} & 9,79828 & -0,03392 & 9,76436 & 9,78033 & -0,01596 \\ g_ \ text {p} & 9,86431 & 0 & 9,86431 & 9,83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Este modelo simples funciona em um sentido qualitativo. Mostra que a gravitação no pólo norte é maior do que no equador. Quantitativamente, este modelo simples não é muito bom. Ele superestima consideravelmente a diferença entre a gravitação no pólo norte e no equador, quase por um fator de dois.

O problema é que este modelo simples não leva em conta a influência gravitacional da protuberância equatorial. Uma maneira simples de pensar nessa protuberância é que ela adiciona massa positiva no equador, mas adiciona massa negativa nos pólos, para uma mudança líquida zero na massa. A massa negativa no pólo reduzirá a gravitação na vizinhança do pólo, enquanto a massa positiva no equador aumentará a gravitação equatorial. Isso é exatamente o que o médico receitou.

Matematicamente, o que esse movimento de massas faz é criar um momento quadrupolo no campo de gravidade da Terra. Sem entrar em detalhes de harmônicos esféricos, isso adiciona um termo igual a $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ para o força gravitacional, onde $ \ lambda $ é a latitude geocêntrica e $ J_2 $ é a segunda forma dinâmica da Terra. Adicionar esse termo quadrupolo à tabela acima resulta no seguinte:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Erro} \\ g_ \ text {eq} & 9,79828 & -0,03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9,78027 & 9,78033 & -0,00005 \\ g_ \ text {p} & 9,86431 & 0 & – 0,03225 & 9,83206 & 9,83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0,04817 & 0,05179 & 0,05186 & -0,00007 \ end {matrix} $

Esta adição simples do quadrupolo agora é uma combinação muito boa.

Os números que usei acima:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, o parâmetro gravitacional da Terra menos a contribuição atmosférica.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, o raio equatorial da Terra (valor médio da maré).

• $ 1 / f = 298,25231 $, o achatamento da Terra (maré média valor).

• $ \ omega = 7.292115855 \ vezes 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, a rotação da Terra taxa.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, o segundo fator de forma dinâmico da Terra.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9,7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitação ao nível do mar no equador.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, que reflete a diferença observada entre a gravitação no equador e os pólos.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, o quadrado da excentricidade da figura de a Terra.

Esses valores são principalmente de Groten, “Parâmetros fundamentais e melhores estimativas atuais (2004) dos parâmetros de relevância comum para astronomia, geodinâmica e geodinâmica. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , com o parâmetro gravitacional padrão modificado para excluir a massa da atmosfera. A atmosfera da Terra tem um efeito gravitacional na Lua e nos satélites, mas não tanto nas pessoas que estão na superfície da Terra.

Comentários

• Re ” Os pólos estão mais próximos do centro da Terra devido para a protuberância equatorial. Isso fortalece a gravitação nos pólos e enfraquece-a no equador. ” : Isso iria não seria verdade se a Terra tivesse uma distribuição de massa uniforme .
• @PeterMortensen – Isso está incorreto. Mesmo se a Terra tivesse uma densidade uniforme, a aceleração gravitacional no pólo seria maior do que no equador por um fator de cerca de $ 1 + \ frac 1 5 f $, onde $ f $ é o fator de achatamento. Consulte Distribuição da força gravitacional em um esferóide não rotativo oblato .
• Ele ‘ é realmente útil ter tudo isso em um só lugar; Eu nunca percebi a gravidade da situação até passar por tudo de uma vez.

Aqui É um argumento simples que não requer nenhum conhecimento de coisas sofisticadas como equipotenciais ou estruturas rotativas de referência. Imagine que pudéssemos girar a Terra gradualmente cada vez mais rápido. Eventualmente, ele iria explodir. No momento em que começou a se separar, o que estaria acontecendo seria que as porções da Terra no equador estariam em velocidade orbital. Quando você está em órbita, você sente falta de peso aparente, assim como os astronautas na estação espacial.

Então, em um ponto no equador, a aceleração aparente da gravidade $ g $ (ou seja, o que você mede em um laboratório fixado à superfície da Terra) cai a zero quando a Terra gira rápido o suficiente. Por interpolação, esperamos que o efeito do giro real diminua $ g $ no equador, em relação ao valor que teria se a Terra não girasse.

Observe que este argumento automaticamente leva em consideração a distorção da Terra em relação à esfericidade. A forma oblata é apenas parte da interpolação entre a esfericidade e a fragmentação.

É diferente nos pólos. Não importa o quão rápido você gire a Terra, uma porção da Terra no pólo norte nunca estará em órbita. O valor de $ g $ mudará devido à mudança na forma da Terra, mas esse efeito deve ser relativamente fraco, porque nunca pode levar à separação.

A diferença na aceleração da queda livre entre os pólos e o equador tem dois fatores contribuintes. Vou discuti-los um por um.

Nos pólos, o a aceleração gravitacional é 9,8322 $ m / s ^ 2 $
No Equador, a aceleração gravitacional medida é 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Dado o raio equatorial da Terra e a taxa de rotação da Terra, você pode calcular quanta aceleração centrípeta é necessária para co-girar com a Terra quando você está localizado no equador. Isso dá 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Essa aceleração centrípeta necessária (no equador) vai às custas da verdadeira aceleração gravitacional no equador.

Assim, podemos reconstruir o que seria a aceleração gravitacional equatorial em um corpo celeste com o mesmo tamanho e densidade e protuberância equatorial da Terra, mas não rotativo.

Aceleração gravitacional verdadeira: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Portanto, ainda há uma diferença de 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Essa diferença restante se deve ao achatamento da Terra: no equador, você está mais longe do centro de atração gravitacional da Terra do que nos pólos.

A questão é se todos os efeitos foram levados em consideração. A matemática resumiria que o efeito de mais massa sob seus pés e ainda menos do que o efeito da distância do centro de massa

Outra visão é. No equador, há protuberâncias perto de você. Mas de todos os outros lados da terra, a protuberância está longe de você. Compare com o pólo que toda protuberância está igualmente longe de você, isso conta a diferença