Aqui está uma onda quadrada apresentada pela perspectiva da série de Fourier: 
Os coeficientes acima mostram que uma onda quadrada é composta apenas de seus harmônicos ímpares.
Mas aqui abaixo uma onda quadrada é apresentado pela perspectiva da transformação de Fourier: 
O gráfico acima mostra que um a onda quadrada é composta de todas as frequências, não apenas dos harmônicos, o gráfico é contínuo.
Quando eu olho para a FFT de uma onda quadrada, ela se parece com a transformada de Fourier, que é contínua.
A série e a transformação fornecem uma interpretação diferente de uma onda quadrada. Por que isso?
Comentários
- A transformação de Fourier de uma onda quadrada existe apenas como um trem de impulso e não pode ser representado como você mostrou. O que você tem é uma Transformada de Fourier discreta de uma sequência de números que é outra sequência de números. (O fato de você ter calculado o DFT por meio do algoritmo da FFT e estar chamando-o de FFT é irrelevante aqui). A sequência de números que é o DFT não tem o gráfico que você mostrou: deve ser uma sequência de pontos, semelhante ao gráfico de coeficientes da série de Fourier. programa gráfico " conectou os pontos " é lamentável.
- eu não o conheço tão bem. mas então do que é composta uma onda quadrada? essa é a questão. faz uma onda quadrada de 1kHz em freq. domínio inclui um componente em 999 Hz ou é composto apenas por harmônicos ímpares de 1 kHz. por que eles são diferentes quando olhamos para séries e FFT?
- Não tenho ideia de como você afirma que os dois espectros exibidos são diferentes.
- @ robertbristow-johnson um é contínuo o outro é discreto. se você seguir o gráfico contínuo, pode concluir que para um sinal de onda quadrada de 1 Hz há componente de 1,1 Hz que é maior do que o componente de 3 Hz. o que estaria errado. o gráfico contínuo está errado, isso é o que você vê em um escopo.
- você acha que o segundo gráfico representa a Transformada de Fourier contínua de uma onda quadrada ???
Resposta
A expansão da série de Fourier de uma onda quadrada é, de fato, a soma dos senos com multiplicações inteiras ímpares da frequência fundamental. Então, respondendo ao seu comentário, uma onda quadrada de 1 kHz faz não inclui um componente a 999 Hz, mas apenas harmônicos ímpares de 1 kHz.
A transformada de Fourier nos diz quais componentes de frequência estão presentes em um determinado sinal. Como o sinal é periódico, neste caso, tanto a série de Fourier quanto a transformada de Fourier podem ser calculadas e devem nos fornecer as mesmas informações. A transformada de Fourier de uma onda quadrada periódica contínua é composta por impulsos em todos os harmônicos contidos na expansão da série de Fourier. Talvez esta imagem de Sinais e sistemas de Oppenheim possa ajudar.
As transformadas de Fourier reais são apenas os impulsos. A linha pontilhada é uma função sinc que não se aplica a esta pergunta, mas dá a noção de que esta transformação tem algo a ver com a transformação de um pulso quadrado (ou seja, um sinal não periódico), que passa a ser um sinc.
Para colocá-lo matematicamente:
- A série de Fourier coeficientes são $$ \ frac {\ sin (k \ omega_0 T)} {k \ pi} $$
- A transformada de Fourier é $$ \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ frac {2 \ sin (k \ omega_0 T)} {k} \ delta (\ omega – k \ omega_0) $$
Portanto, os coeficientes da série e a transformada de Fourier são o mesmo, exceto que há um fator de proporcionalidade de $ 2 \ pi $ e, no primeiro caso, você plota barras (como os coeficientes não descrevem uma função, eles são apenas números), mas no segundo você tem impulsos ( porque o F a transformada de ourier é uma função).
Comentários
- não entendo, então, na realidade, uma onda quadrada de 1kHz não teria componente de 999 Hz? Mas no osciloscópio, componente de 999 Hz é maior que componente de 3 kHz. Não entendi.
- Não, uma onda quadrada puramente de 1 kHz não ' tem um componente de 999 Hz.
- tente alimentar uma onda quadrada em um osciloscópio e verifique seu FFT. você pode se surpreender. é por isso que fiz esta pergunta
- Bem, na realidade, geradores de função não são ideais. Eles têm ruído e as ondas quadradas não são realmente quadradas. Então, se a onda que você está medindo não ' t tem muita amplitude, o ruído do gerador e do próprio osciloscópio interfere na medição (também, a função FFT dos osciloscópios tende a ser uma ferramenta pobre para medições precisas) e então, componentes de 3, 5 ou 7 kHz podem ficar muito pequenos em comparação.Isso poderia explicar o que você está recebendo.