Na página Answers.com no comprimento do Planck, vejo dois quase iguais fórmulas para o comprimento de Planck que diferem apenas pelo uso de he hbar. No entanto, as constantes são as mesmas e minha calculadora fornece a resposta correta para hbar em vez de h, portanto, o primeiro uso de h provavelmente significava hbar. Por que o Dicionário Oxford (e meu livro!) Não usa hbar em vez disso?
ATUALIZAÇÃO: a equação (do dicionário Oxford?) De que eu estava falando que usa h: 
e a equação da Wikipedia que usa hbar, mas fornece a mesma constante para o comprimento do Planck: 
Comentários
- Unidades de Planck são coisas da ordem de magnitude, de qualquer maneira. Como não ' não temos uma teoria de gravidade quântica, não ' não sabemos sua escala de energia exata, então nosso conhecimento dessas coisas só é preciso nas escalas que podemos obter por análise dimensional. Multiplicação por números puros isn ' isso vai mudar. Usar $ \ hbar $ em vez de $ h $ é exatamente ' certo ' de qualquer maneira. Claro, quase toda a mecânica quântica usa $ \ hbar $, então faria mais ' sentido ' para usar o último.
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a página answers.com para você mencionado usa a seguinte fórmula: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Observe que há o fator $ 2 \ pi $ no denominador – então $ h / 2 \ pi $ pode ser simplificado como o $ \ hbar $ usual. Eles provavelmente não foram capazes de digitar esse caractere ou queriam evitar terminologia e símbolos que só são conhecidos pelos físicos. Mas não há nenhum erro numérico na página answers.com. De qualquer forma, a definição acima é equivalente a $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ que é o comprimento de Planck “não reduzido” usual. Consulte a Wikipedia para a mesma fórmula:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Numericamente, é $ 1,6 \ vezes 10 ^ {- 35} $ metros. (Atualização: o Dicionário Oxford de Inglês tem uma fórmula errada – eles omitiram $ 2 \ pi $ e esqueceram de cruzar $ h $ também. Mas eles significam claramente o mesmo comprimento de Planck.) Às vezes, as pessoas também usam o Planck “reduzido” comprimento que é mais sofisticado e “profissional” em certo sentido: $$ L_ {Planck, reduzido} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Observe que $ 8 \ pi $ no numerador também pode ser mesclado com $ \ hbar $ para obter $ 4h $ de volta – então o comprimento de Planck reduzido é duas vezes (por causa da raiz quadrada) o comprimento de Planck errado que você obteria usando $ h $ em vez de $ \ hbar $. Mas qual é a verdadeira razão pela qual $ 8 \ pi $ foi adicionado lá?
A razão pela qual $ 8 \ pi G $ aparece em vez de $ G $ é porque, em certo sentido, $ 8 \ pi G $ é mais natural uma constante do que $ G $: esta discussão é análoga ao tratamento de $ 4 \ pi $ em eletrodinâmica. A constante $ 8 \ pi G $ é natural porque a ação de Einstein-Hilbert é $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ O o coeficiente mais natural seria $ 1/2 $ em vez de $ 1/16 \ pi G $, o que torna natural definir $ 8 \ pi G = 1 $. O comprimento reduzido de Planck é um pouco mais longo (cinco vezes mais ou menos) – menos extremamente pequeno. Ainda mais frequentemente, os físicos de partículas falam sobre a energia de Planck e a energia reduzida de Planck, que estão perto de $ 10 ^ {19} $ e $ 10 ^ {18} $ GeV, respectivamente.
A convenção para a constante $ G $ foi originalmente escolhido por Newton, que queria escrever a força gravitacional como $ GMm / r ^ 2 $. Bem, seria mais natural ter o fator de $ 4 \ pi $ ou $ 8 \ pi $ no denominador, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Você pode ver que $ \ Gamma $ é simplesmente $ \ Gamma = 8 \ pi G $, e seria natural definir $ \ Gamma $ igual a um.
Espero que não tenha para explicar porque $ \ hbar $ é mais natural do que $ h $ para físicos adultos. As versões “leigas” das fórmulas podem ser mais simples com $ h $ – mas lidam com o comprimento de onda, etc. Os físicos adultos sabem que o comprimento de onda do seno é proporcional a $ 2 \ pi $. E as equações mais fundamentais, como a equação de Schrödinger ou os comutadores de $ [x, p] $, assumem uma forma mais simples em termos de $ \ hbar $ do que $ h $, de curso.
Voltando a $ G $: as pessoas tinham que escolher a convenção de como normalizar $ G $ em dimensões superiores. A convenção usual, como implicitamente usada acima, é que a ação de Einstein-Hilbert sempre tem o coeficiente $ 1/16 \ pi G $. Isso implica que nas dimensões do espaço-tempo $ D $, a força não será $ GMm / r ^ {D-2} $, mas terá alguns coeficientes numéricos dependentes de $ D $ nela.
Melhor deseja Lubos
Comentários
- Muito obrigado, Lubos! Entendo que deveria haver o Planck reduzido ' s constante de uma forma ou de outra (com hbar ou com h acima de 2 pi).No entanto, vejo uma discrepância entre a equação ' da Wikipedia e a equação de Oxford dict ' s, como eu ' atualizamos a pergunta a ser exibida.
- Obrigado pela atualização, nome de usuário errado. O Oxford Dictionary tem um erro – eles se esqueceram de cortar $ h $ devido a fontes insuficientes ou escritores incompetentes haha.
Resposta
Isso deve estar relacionado a problemas de composição. Unidades naturais (Planck “s) têm hbar = 1, não h = 1.