Por que existem doze notas em uma oitava?

Isso requer uma excursão pela história musical.

Originalmente, os instrumentos eram feitos para simplesmente tocar notas que soavam” certas “juntas. Por que algumas notas soavam certas e outras erradas não era uma grande preocupação para a maior parte da história da humanidade, até Pitágoras , (sim, o cara com o teorema ) percebeu que tinha a ver com intervalos, e fez uma teoria musical baseada em quintas perfeitas. Essa teoria, entretanto, teve seus problemas e foi aprimorada por pessoas posteriores, eventualmente terminando no que é chamado de “ apenas entonação ”

Basicamente, as notas soam harmoniosas se a frequência das notas estiver perto de um intervalo simples, como 3/2 ou 5/4. Essas teorias eram importantes porque significava que era possível para diferentes fabricantes de instrumentos fazer instrumentos que pudessem tocar escalas juntos, criando assim orquestras.

Mas apenas a afinação tem um problema: basicamente, você só pode tocar a escala para a qual o instrumento foi construído, porque os intervalos entre as notas são diferentes. Se você tocar uma música na escala errada, ela soará desafinada. Isso significa que, se você quiser cantar junto com o instrumento, deverá encontrar um cantor cujo alcance se ajuste à música na escala para a qual o instrumento foi construído. Você não pode “transpor a música para caber no cantor. Além disso, os músicos estavam explorando os limites do que você poderia fazer apenas com instrumentos entoados.

Então, disso veio o temperamento igual . Ele divide a escala em intervalos iguais, o que significa que você pode transpor uma melodia para outras tonalidades e também significa que você pode fazer mudanças dramáticas de acordes e outras coisas interessantes. Você realmente pode dividir a oitava em 11 ou 13 notas, se desejar, mas para a maioria das pessoas soará desafinado . Mas quando você divide em 12 notas, você chegue perto o suficiente das sete notas de apenas entonação para ser suportável, exceto para alguns poucos azarados supostamente sobrecarregados com afinação perfeita superativa. Os cinco tons que estão entre os sete básicos são, como esperado, chamados de “meios-tons”.

Existem temperamentos iguais, além dos 12 tons por oitava, que soam bem, mas geralmente não têm um número inteiro de notas por oitava ave. Wendy Carlos fez muitos experimentos com isso e fez escalas como a escala gama com uma ligeira estonteante 34,29 notas por oitava.

Comentários

• houve muita exploração prática e teórica em andamento durante séculos, mas o temperamento igual veio especificamente da padronização de instrumentos de teclado (especialmente órgãos de igreja), a questão de instrumentos desgastados e a renovação de uma abordagem matemática da tonalidade (ver o tratado de Mersenne , por exemplo)
• Na verdade, isso era conhecido antes de Pitágoras. Ele foi apenas o primeiro cujos seguidores o escreveram. Além disso, a teoria moderna mostra que razões de números inteiros pequenos são aplicáveis apenas a sons harmônicos. Sons inarmônicos ou sons apenas com harmônicos ímpares produzem escalas diferentes.
• Isso ‘ é o ponto principal. Rações inteiras pequenas = som harmônico. Eu não ‘ não vejo o que há de moderno nisso. 🙂 E como você sabe que as pessoas sabiam disso antes de Pitágoras se não ‘ não o anotavam?
• Aqui ‘ s uma imagem de apenas vs ET lado a lado flic.kr / p / 7rNope
• ” Mas apenas a afinação tem um problema: basicamente você só pode tocar a escala para a qual o instrumento foi construído, porque os intervalos entre as notas são diferentes “: na verdade, se você ‘ tocar música com harmonias do tipo que surgiu durante o Renascimento europeu , você não pode ‘ nem mesmo usar apenas a entonação se se limitar a uma única tonalidade, a menos que evite certos acordes nessa tonalidade. Esta resposta pula o período importante e duradouro de temperamentos desiguais, que durou do início do século 16 até o 19, antes do renascimento no 20.

Esta pergunta em math.se é bastante semelhante ao que você está perguntando e as respostas fornecem muitos detalhes:

Diferença matemática entre notas brancas e pretas em um piano?

O que está acontecendo aqui é uma coincidência matemática extremamente conveniente: várias das potências de 2 ^ (1/12) são boas aproximações para proporções de números inteiros pequenos, e há o suficiente para tocar música ocidental.

Comentários

• Acho que mais fundamentalmente, (3/2) ^ 12 (129,75) está perto de uma potência de dois (128). Assim, as quintas em uma escala de temperamento igual de 12 notas têm uma proporção de 1,498: 1 (o ideal seria 1,5: 1), que está mais perto da perfeição do que para qualquer outro número razoável de notas.
• Eu ‘ li discussões sobre 19-TET (temperamento igual de 19 tons) em que uma escala diatônica teria cinco ” grande ” intervalos de 3/19 oitava e dois ” pequenos ” intervalos de 2/19 oitava. Tal escala seria passível de notação musical normal se considerarmos, e. C # e Db com 1/3 de passo separados. A maior estranheza seria que as assinaturas de tom com até nove sustenidos ou bemóis seriam distintas (em vez de ter C # / Db, F # / Gb e B / Cb como pares de assinaturas de tom semelhantes).
• Acho que esta citação não se aplica ou explica a questão. Não há coincidência aqui. É por construção.
• @ggcg Que a escala de n tons de temperamento igual consiste em razões de frequência de 2 ^ (j / n) para valores inteiros de j é por construção. Que 2 ^ (7/12) e 2 ^ (5/12) são boas aproximações para 3/2 e 4/3, e que não há aproximações igualmente boas dessas proporções em temperamento igual de 11 ou 13 tons é um facto. E não é uma coincidência – se relaciona à fração contínua do logaritmo de base 2 de 3. Que 2 ^ (4/12) é uma aproximação decente de 5/4 é, no entanto, uma coincidência até onde posso ver. Propriedades especiais do número 12 são o que faz com que o temperamento igual de 12 tons funcione razoavelmente bem.

Dois pontos que podem não ter sido completamente respondidos.

• Por que dó maior a escala de referência para tons naturais?

  A notação anglo-saxônica obscurece um pouco a história. A tradição da música sacra conduziu na Itália (logo depois da França e da Espanha) para nomear notas da escala maior de referência por sílabas convencionais: Ut Re Mi Fa Sol La Si (corresponde a CDEFGAB ) proveniente da letra latina de uma peça muito conhecida da época. A última notação de uma letra toma outro ponto de partida, mas o caractere de referência da escala de Dó maior persistiu nos países ocidentais, mesmo que você possa encontrar evidências de notações e teclados usando outras notas como referência. Uma das principais influências foi a construção de instrumentos de teclado (notadamente o órgão da igreja). O layout atual do teclado é um meio-termo entre a largura típica das mãos, tocando Ut (agora chamado principalmente de Do ou C ) escala maior facilmente e tendo acesso a todos os semitons e algumas outras coisas. Outros projetos não tiveram tanto sucesso.

  É preciso saber também que a teorização e padronização da música pelo menos até o século 19 foi feita sob o patrocínio das igrejas (ortodoxas, católicas, reformadas, …) pressionando pela uniformidade. O século XIX assistiu a uma padronização e internacionalização ainda maiores da afinação, do ensino da música e da dominação do piano como instrumento de referência e composição. Os últimos três séculos suprimiram progressivamente ou colocaram no esquecimento a maioria das tradições divergentes (quanto a escalas, modos, afinação) na Europa.Hoje em dia, as pessoas que aprendem música são ensinadas como uma evidência da escala Dó maior como base da teoria musical e a escala menor e suas variantes nem sempre são tratadas de forma justa.

• Por que isso há um semitom entre E & F e B & C e não em outro lugar?

  Existem várias escalas / modos fora da escala maior, com número variável de notas, onde os semitons não são colocados entre a 3ª e a 4ª nota e entre a 7ª e 8ª. As três escalas menores (harmônica, ascendente, descendente), por exemplo, mas também dorian , frígio , você pode ler um artigo da enciclopédia sobre eles.

Comentários

• Na verdade, apenas ut a la vêm diretamente do hino, que varia apenas de C a A, mas estava bem, pois o sistema que usavam essas sílabas compreendiam escalas de seis notas sobrepostas chamadas hexacordes; essas sílabas foram usadas junto com os nomes das letras da escala de sete notas que parece ter precedido eles. Ut foi aplicado a Fá, C ou G. Si foi adicionado mais tarde, quando o sistema hexacórdio quebrou e as sílabas foram aplicadas à escala de sete notas. A escala maior realmente não existia naquela época, entretanto, uma vez que havia apenas quatro modos autênticos e suas contrapartes plagais.

Uma quinta é o menor intervalo consonantal não oitava, com uma razão de frequência de 3: 2. Se você começar a empilhar quintas puras, o primeiro resultado razoavelmente próximo de oitavas empilhadas (2: 1) é 12 quintas, que acaba sendo 531441: 4096 em oposição a 128: 1 para 7 oitavas. Isso é o mais próximo que você pode chegar para um número razoável de notas por oitava. Então, se você está procurando uma tonalidade construída a partir de oitavas empilhadas e quintas quase perfeitas, uma divisão de doze tons será basicamente o que você encontrará .

Isso também acontece para servir alguns outros intervalos (terças maiores e menores, por exemplo), mas pior do que quintas. “temperamento de tom médio” tenta obter um número de terças maiores puras ao custo de fazer vários outros intervalos, bem como alguns terços soar piores, e “afinação bem temperada” obtém várias quintas puras e algumas terças agradáveis em troca de alguns mais desagradáveis quintas.

Assim, ao longo dos milênios, a afinação mudou seu foco de terças puras para quintas puras e, finalmente, estabeleceu-se em tornar puras apenas as oitavas e construir o resto da escala em torno de uma quinta igualmente temperada, resultando em 12 semitons de temperamento igual.

Comentários

• essa foi uma explicação muito boa. obrigada. ainda estou interessado em dividir as oitavas em vários números de semitons e brincar com os resultados. Isso me faz pensar se a oitava de 12 semitons soava bem antes do advento da ” música como a conhecemos ” ou se é alguma coisa de um gosto adquirido, caso em que podem ser adaptadas avarias alternativas da oitava, como no caso da música ocidental vs indiana vs leste asiático.

Quando duas notas são tocadas juntas, elas soam agradáveis apenas se suas curvas de onda se juntam a cada poucos ciclos. Nós os chamamos de som harmônico.

Se as curvas das ondas nunca se juntam, ou não o fazem dentro de alguns ciclos, elas soam discordantes.

As curvas das ondas só se juntam se as duas frequências são múltiplos uma da outra. Por exemplo, se uma frequência é de 200 ciclos por segundo e a outra é de 600 ciclos por segundo, suas curvas de som coincidirão exatamente 3 vezes a cada segundo, e eles soarão harmônicos.

Ao dividir cada oitava em 12 intervalos, você maximiza o número de pares de notas com sons agradáveis. Isso ocorre porque o número 12 é divisível por mais números pequenos do que qualquer outro número inferior a 60. É divisível por 1,2,3,4 e 6. O número 60 permitiria combinações mais agradáveis (1,2,3, 4 e 5), mas seria ridículo dividir uma oitava em 60 intervalos.

Então, na música ocidental moderna, eles usam 12 intervalos. Isso fornece o número máximo de combinações com sons agradáveis para criar harmonia.

Comentários

• Não ‘ não vejo por que os divisores são importantes aqui. Porque, por exemplo, o trítono temperado igual tem uma razão de frequência 2 ^ (6/12), que é uma das piores aproximações (em comparação com apenas a entonação) na escala, enquanto a quarta perfeita (2 ^ (5/12)) é uma das o melhor (veja o link na resposta de Matthew ‘). Outro pequeno comentário: Se uma frequência é 200 Hz e outra é 600 Hz, então, supondo que eles ‘ re-sincronizados, eles estarão na mesma fase 200 vezes a cada segundo, ou seja, a cada terceiro ciclo do um mais rápido.
• As frequências não ‘ t precisam ser múltiplos entre si; eles precisam compartilhar um pequeno múltiplo comum. Veja minha resposta aqui .
• 60 semitons por oitava! essa é uma excelente experiência para tentar: D
• @nonpop está certo. Se dividirmos a oitava em n intervalos iguais, não é importante que n tenha muitos fatores. 16et não tem aproximação utilizável de uma quinta perfeita. 30et não tem intervalos melhores do que aqueles de 15et, cujo melhor quinto tem 18 centavos de largura (12et ‘ s é 2 centavos estreito). Por outro lado, alguns temperamentos iguais com intervalos excelentes têm n primos, por exemplo 19et, 31et e 53et.
• Sim, concordo com @nonpop. Há algo incorreto nessa resposta. Nenhum dos intervalos 12TET ” alinha-se “, o ajuste justo fornece alinhamento perfeito, mas causa outros problemas. O 12TET é um compromisso. Eu ‘ conheci pessoas com afinação perfeita que afirmam que TODOS os intervalos 12TET soam dissonantes.

O motivo é O CÉREBRO. O cérebro gosta de frequências de proporções simples. Ele acha que eles vão juntos. Você realmente deveria perguntar, primeiro, por que existem oitavas?

Bem, a oitava representa uma duplicação / redução pela metade de hertz (ciclos por segundo).

Então, midi dó médio é 256 Hz, e se você souber os números do computador, você ” perceba que a próxima oitava dó está em 512, 1024, 2048, etc. e as oitavas mais baixas estão em 128, 64 e (modifique seu carro) 32.

Terremotos, a propósito, aparecem por volta de 11 hertz.

Cada sociedade começa com a oitava. “Cos 1/2. Entendeu?

(Proponho que a 2ª escola vienense abandone a oitava, e também afine os instrumentos. Niether faz algum sentido para eles. O estado atual das coisas com oitavas, afinação e coisas do tipo é pura hipocrisia. Deixem para lá, rapazes! Também pontuam. E tocar em público. Ninguém vem mesmo.)

Hh HHm …

Como dividir a oitava?

Se começarmos em C e dividirmos em 3 (que é uma boa proporção para o cérebro), obteremos uma adorável escala de 3 notas:

C, E , G #, C

Que tal dividi-lo em quatro:

C, Eb, F #, A, C

“Isso” é bom “, diz o cérebro “, mas é muito SIMÉTRICO. Ambas as escalas parecem durar para todo o sempre, não posso dizer o que é o quê. Eu sei! Por que você não mistura e combina as proporções para que fiquem um pouco mais desiguais? Então eu poderei descobrir a nota do baixo. “.

E assim nasceu o” Proto Major Thingy “:

C, E, G, C

e o “Proto Minor Thingy”:

C, Eb, G, C

“Espere um bit “, diz o cérebro,” você perdeu uma nota, não foi? “.

” Onde? “

” Entre G e C, tenho certeza de que tinha algo entre G e C “.

C, E, G, A, C?

” Tá bom! Rock and Rollish. Continue então, e o outro? ”

C, Eb, G, Bb, C?

“Ei, o que há com o Bb? Nunca ouvimos isso antes. Que proporção é essa? “

” É “10/12”.

“Você quer dizer 5/6. Tudo bem. Toque de novo”.

C, Mib, Sol, Si Bemol, C

“Ok, isso é blues. Tudo bem! Mas isso foi há 70.000 anos e há “um monte de coitados desgraçados” em volta do cenário, sendo triturados e mastigados por tigres dente-de-sabre e coisas do gênero. Funerais de Lotta. Mucho tristeza. Como Trump hoje em dia, você deve saber! Precisa de variedade. “

” Permutações? “

” Mostre-me. “

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

“Qual é a proporção F? “

” 4/3 “

” Ótimo! Eu gosto disso. 5 notas. Vamos dar-lhe um nome grego chique. Tart it up. Penta …? ”

“Tônico?”.

“Isso” é maravilhoso “.

” Eu estava brincando. Você sabe, muito literal …”

” Esquece. É incrível. Vamos usar o Pentatônico. Mais! Nós precisamos de mais! Agora há chefes, cabanas de barro, joias “

” Eu preciso de algumas regras “.

” Ok. Er .. mantenha a terça menor ou a terça maior e a quinta onde é, e apenas mova os outros … Eu sei, assim: mova o sétimo para cima, o sexto para baixo, o quarto para cima e o segundo para baixo! “

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

“Ei, então se sobrepormos todos eles” “teremos 12 subdivisões da oitava! Brilhante!”

C , Db, R, Mib, Mi, F, Fá #, Sol, Ab, A, Bb, B, C

“É por isso que sou chamado de CÉREBRO, filho. Ah, e você” de nada. “

Comentários

• Agradeço o humor (até o que estou falando), mas pode ser um pouco exagerado para este site. O que fazer você quer dizer com ” dividir o C em 3? ”
• @GeneralNuisance Provavelmente significa dividir a oitava em três partes iguais.
• Na verdade, em temperamento igual, dó médio é 261,63 Hz.
• Não acho que a premissa seja sólida.

Para a música ocidental, os gregos foram os primeiros a descobrir a matemática que ocorre naturalmente nos tons harmônicos gerados por buzinas e outros instrumentos de sopro. Os gregos aplicavam as mesmas proporções matemáticas (proporção áurea) às cordas. Pitágoras inventou a afinação pitagórica de (3: 2) quintas perfeitas e oitavas (2: 1) para corresponder aos sobretons harmônicos que ocorrem naturalmente. Mais tarde, os gregos inventaram 7 escalas modais baseadas na afinação pitagórica. Sete modos com oito notas em uma escala. Essas escalas eram jônicas, dóricas, frígias, lídia, mixolídia, eólias e locrianas. Ainda usamos Jônico (Principal) e Eólico (Menor). A falha com os harmônicos naturais é que as oitavas entre cada modo eram ligeiramente diferentes umas das outras. Aristóxeno, no século 4 aC, inventou os 12 tons entre oitavas na tentativa de usar a mesma proporção entre cada nota. Chaves posteriores foram inventadas para usar esses 12 tons como base para cada escala. O problema é que, por natureza, essas teclas são ligeiramente diferentes uma da outra. Para resolver este J.S. Bach no início de 1700 promoveu o uso da Escala Temperada. Ele equalizou a lacuna natural que ocorria entre cada um dos doze semitons. Os instrumentos de sopro no período barroco tinham uma bolsa de cajados de tamanhos diferentes para ajustar a cada tonalidade em que tocavam . Os instrumentos de cordas também precisavam ser reajustados a cada mudança de tonalidade. Usando a escala temperada, o executante podia alternar entre todas as diferentes tonalidades sem reajustar.

Comentários

• Ok, boa história, mas por que Aristoxeno decidiu sobre 12 em vez de 13 ou 11?
• Aristóxeno queria usar a mesma proporção de 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html explica a matemática por trás disso.
• Você deve explicar isso em sua resposta, então.
• Esta resposta tem muitas afirmações incorretas. A proporção áurea geralmente não aparece em harmonia. Os modos gregos não incluíam os modos jônico ou eólico (e os modos gregos não são os mesmos que aprendemos hoje com esses nomes; os nomes gregos foram aplicados a quatro desses modos na idade média, enquanto eólico, jônico e locriano foram desenvolvidos posteriormente). Existem 7 tons distintos em uma escala, não 8. O temperamento foi inventado muito antes de Bach, e o temperamento preferido por Bach não era igual. Os vigaristas não têm nada a ver com temperamento, e as cordas não precisam ser reajustadas a cada mudança de tom.

Uma imagem simples às vezes é melhor do que uma grande explicação, então eu também encorajo a verificar os gráficos neste link, você pode passar o mouse sobre 10edo até 19edo, por exemplo, para ver as diferenças entre as várias divisões: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (basta olhar para as consonâncias mais fortes: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 e 3/5 – 5 / 3, o resto do gráfico não é realmente importante em comparação.)

Basicamente, o que mostra claramente é que a divisão de 12 notas é a única a fazer as relações 3/2 e 4/3 (os mais importantes *** após a oitava) quase puro. E as terceiras / sextas (proporções com o número ” 5 “, os próximos mais importantes ***), também não são tão ruins. Nenhuma outra divisão por um número razoável de notas, de 10 a 19, pode se aproximar disso. Isso é matematicamente notável e a razão pela qual usamos 12 notas e não 13, 11 ou etc.

** (” 1/3 ” significa apenas uma proporção de 4/3 com mudanças de 2 oitavas, é apenas a maneira como eles originalmente apresentam os números.)

*** (O que quero dizer é que se o seu cérebro quer reconhecer e lembrar facilmente da música, você precisa de um grande grupo de quintas, quartas e terças para estar mais ou menos afinado, em seu arquitetura musical, até mesmo melódica, caso contrário, são na maioria sons dissonantes, levando a ruídos e difíceis de lembrar para o cérebro …)

Ótima resposta de @john Baldwin acima. Só queria acrescentar que essas divisões mínimas também são as mais práticas de usar. Tomando o caso de cantar, por exemplo, entre uma nota, diga Dó e sua oitava dó mais alta, 7 intervalos produzir o som mais distinto, mais 5 sustenidos e bemóis = 12.

E então, se começarmos a dividir ainda mais, ele lentamente começará a obter harmonias secundárias muito finas para o ouvido humano discernir. E essas 12 divisões também repetir nas oitavas mais altas e mais baixas e assim por diante.

O mais fácil de identificar são 4 divisões, que é um divisor de 12, que compõe uma escala pentatônica com a nota mais alta, um d é por isso que é facilmente agradável.

Comentários

• Isso não ‘ não faz muito sentido para mim. O que você quer dizer com ” distinto “? Eu pensaria que os intervalos consonantais são menos distintos que os dissonantes, por exemplo, e a escala de doze tons é projetada em torno de intervalos consonantais. Sharps e bemóis são ‘ algo que você pode revelar ao contar os intervalos, a menos que você ‘ esteja trabalhando em uma determinada tonalidade ou teoria harmônica ou seomthing (e você não ‘ t especificou um). Finalmente, como 7 intervalos podem produzir ” o som mais distinto ” se 4 (ou melhor, 5) intervalos são ” o mais fácil de identificar “?
• Distinto significa onde uma mudança de uma nota para outra é claramente identificada. Quanto mais divisões em uma escala, menos distintas as notas se tornam. Intervalos dissonantes podem ser facilmente identificados por serem chocantes, mas em termos de como o cérebro gosta de harmonia, os 7 intervalos são musicais e naturalmente melódicos. Tente cantar uma melodia dissonante e uma melódica e você saberá qual delas parece mais fácil. pentatônica é um subconjunto e tem intervalos mais distintos que todas as 7 notas da escala. Se você decidiu adicionar mais paradas em uma escala como 20, por exemplo, naturalmente se tornará um longo bocejo

Com base na formulação da pergunta, eu diria que é intencional. Não é uma coincidência que 12 meios tons se encaixem em uma oitava, em vez de 11 ou 13. Embora os detalhes possam mudar se alguém assumir apenas a afinação, explicarei assumindo uma afinação temperada igual. Em primeiro lugar, você deve saber que existe um continuum de frequências e, portanto, tons entre quaisquer duas notas. Convergimos em uma escolha particular de combinações de tons para a escala diatônica ocidental ao longo de séculos de experimentação. As notas em uma escala refletem o que é agradável ao (s) ouvido (s) para uma cultura específica. Com o tempo, os ocidentais padronizaram o meio tom dividindo a oitava em 12 degraus usando a relação

f_octave = 2 * f_tonic

eles impuseram a restrição de que a proporção de dois meio tom consecutivos fosse o mesmo não importa onde você comece,

f_1 / 2 = r * f_tonic (este seria um segundo menor)

já que estamos forçando o número de 1/2 passos da tônica para oitava para ser 12, obtemos a relação

r ^ 12 = 2 ou r = 2 ^ (1/12)

IMO, alguns posts aqui estão colocando a carroça na frente dos bois. Você não pode demonstrar que a oitava tem apenas 12 semitons usando a definição de semitom acima. Em vez disso, você pergunta qual deve ser a proporção para garantir que haja 12 em uma oitava.

Para esse fim, existem todos os tipos de cromaticismos alternativos que tentam colocar N passos iguais em uma oitava. Isso resulta na equação de afinação,

r = 2 ^ (1 / N)

Há um 24 TET contendo 24 semínimos iguais em uma oitava. E você absolutamente poderia construir uma escala com

r = 2 ^ (1/13)

ou alguma outra raiz de 2. É claro que NÃO seriam 1/2 etapas no sentido tradicional do termo. Agora, a questão de como chegamos lá é uma história mais longa. Antes de 12TET, o ajuste da escala maior justa com 8 notas (incluindo oitava) tem mais de 5 acidentes. Você pode pesquisar isso no Google e encontrar artigos do Wiki sobre o assunto, mas havia, acredito, escalas com até 17 notas independentes na oitava. Embora todas as notas consecutivas sejam provavelmente proporções ligeiramente diferentes. Portanto, não é realmente um passo 1/2. O que você chama de 1/2 passo depende de como você aprendeu o termo.