Estou lendo Uma Breve História do Tempo de Stephen Hawking, e nele ele menciona que, sem compensar a relatividade, os dispositivos GPS estaria fora por milhas. Por que é isso? (Não tenho certeza de qual relatividade ele quer dizer, pois estou vários capítulos à frente agora e a pergunta acabou de me surgir.)
Comentários
- astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html
- I ' estou tentando localizar minhas fontes sobre isso, mas li que mesmo que você não ' leve em conta a relatividade geral (diminuindo a velocidade dos relógios antes do lançamento), seu GPS funcionam bem porque o erro é o mesmo para todos os satelites. O único problema seria que os relógios não estariam sincronizados com o solo, mas isso não é necessário para calcular sua posição atual. Alguém pode confirmar isso?
- Algo encontrado: physicsmyths.org.uk/gps.htm qualquer pessoa pode comentar neste?
- encontrou outra coisa neste mesmo site: physics.stackexchange.com/q/17814/3177 (algumas respostas mencionam isso )
- Eu olhei para aquele site do Reino Unido apressadamente e parece haver algumas " refutações " da relatividade especial , então duvido que esse site seja confiável. Também há manivelas na troca de pilha, é claro … e na Wikipedia, na academia e … sinceramente,
Resposta h2>
A margem de erro para a posição prevista pelo GPS é $ 15 \ text {m} $. Portanto, o sistema GPS deve manter o tempo com uma precisão de pelo menos $ 15 \ text {m} / c $ que é aproximadamente $ 50 \ text {ns} $.
Então, $ 50 \ text {ns} $ erro na cronometragem corresponde para $ 15 \ text {m} $ erro na previsão da distância.
Portanto, para $ 38 \ text {μs} $ o erro na cronometragem corresponde a $ 11 \ text {km} $ erro na previsão da distância.
Se não aplicarmos correções usando GR ao GPS, será introduzido um erro de $ 38 \ text {μs} $ na cronometragem por dia .
Você mesmo pode verificar usando as seguintes fórmulas
$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … o relógio funciona relativamente mais devagar se estiver se movendo em alta velocidade.
$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … o relógio funciona relativamente mais rápido devido à baixa gravidade.
$ T_1 $ = 7 microssegundos / dia
$ T_2 $ = 45 microssegundos / dia
$ T_2 – T_1 $ = 38 microssegundos / dia
use os valores fornecidos neste excelente artigo .
E para equações, consulte Hiperfísica .
Então Stephen Hawking está certo! 🙂
Comentários
- $ R $ é o raio da Terra ou o raio da órbita?
- Mas o que ' s relevantes para GPS é a diferença entre carimbos de data / hora de diferentes satélites, certo? E, como estão na mesma altitude, devem ser deslocados no mesmo valor no tempo, de modo que as diferenças devem ser basicamente as mesmas que sem relatividade. Quer dizer, não ' importa quanto é o erro nos relógios após um dia, já que o erro de localização não é cumulativo, porque os satélites ' relógios não ' t se afastam um do outro.
- Conforme observado nesta resposta , é importante notar que os valores dados correspondem à diferença entre os fatores na terra e em órbita – o que significa que as expressões para $ T_1 $ e $ T_2 $ dadas não ' t avalia os valores fornecidos, embora os valores fornecidos estejam corretos. Dica do chapéu para Michael Seifert que apontou isso.
- @Dims 15/300000000! = 100 * 10 ^ (- 6), é igual a 5 * 10 ^ (- 8). Recebi minha resposta apenas digitando no google, mas deve ser fácil ver que 15 dividido por 3 será o 5 principal, não o 1.
- Muita desinformação aqui. De acordo com o Observatório Naval dos EUA (os criadores do GPS para substituir LORAN): O GPS NÃO usa cálculos de relatividade (repito, ele NÃO usa cálculos de relatividade).
Resposta
Este é o artigo da Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html que explica muito bem por que os relógios de um satélite GPS são mais rápidos em cerca de 38 microssegundos todos os dias. O artigo então afirma que a não compensação para esses 38 microssegundos por dia faria com que um GPS ficasse cerca de 11 km por dia simplesmente inutilizável, e afirma que isso (o fato de que precisamos compensar os 38 microssegundos para fazer o GPS funcionar) é uma prova da relatividade geral.
O problema é que, embora os relógios estejam realmente errados em 38 microssegundos por dia e a Relatividade Geral está tudo bem, não teríamos que compensar isso.O GPS do carro ou do telefone não tem relógio atômico. Não tem relógio preciso o suficiente para ajudar com o GPS. Ele não mede quanto tempo o sinal levou para ir do satélite A ao GPS. Ele mede a diferença entre o sinal do satélite A e o sinal do satélite B (e mais dois satélites). Isso funciona se os relógios forem rápidos: Como contanto que sejam todos rápidos exatamente na mesma quantidade, ainda obtemos os resultados certos.
Ou seja, quase. Os satélites não param. Portanto, se confiarmos em um relógio que está 38 microssegundos mais rápido por dia, fazemos os cálculos com base na posição de um satélite que está desligado por 38 microssegundos por dia. Portanto, o erro não é (velocidade da luz vezes 38 microssegundos vezes dias), é (velocidade do satélite vezes 38 microssegundos vezes dia). Isso é cerca de 15 cm por dia. Bem, as posições dos satélites são corrigidas uma vez por semana. Espero que ninguém pense que poderíamos prever a posição de um satélite por muito tempo sem nenhum erro.
De volta à suposição original, que sem compensação o erro seria de 11 km por dia: Os relógios dos satélites são multiplicados por um fator tímido de 1 para que eles andem na velocidade correta. Mas isso não funcionaria. O efeito que produz 38 microssegundos por dia não é constante. Quando o satélite sobrevoa um oceano, a gravidade é menor. A velocidade do satélite muda o tempo todo porque o satélite não voa em um círculo perfeito em torno de uma terra perfeitamente redonda feita de um material perfeitamente homogêneo. Se o GR criou um erro de 11 km por dia sem compensação, então é bastante inconcebível que uma simples multiplicação de a velocidade do clock seria boa o suficiente para reduzir isso e tornar o GPS utilizável.
Comentários
- Legal. Mas eu devo dizer isso do ponto de vista filosófico posição de um experimentador, uma máquina que faz os operadores arrancarem seus cabelos (o que o GPS faria na ausência de GR) não está ' funcionando até que esses comportamentos sejam compreendidos (o que aconteceria quando alguém inventou o GR para explicar a anomalia). Mas isso ' é um ponto filosófico.
- Esta é a única resposta correta nesta página. GPS foi uma evidência significativa para GR porque podemos comparar a velocidade dos relógios em órbita com os da Terra. No entanto, a precisão do sistema GPS não ' t depende dos satélites mantendo a hora exata. Contanto que mantenham o mesmo tempo, o sistema funcionará.
- Na verdade, o GPS é uma " prova " de GR pelo motivo que você indicou. gnasher tem a resposta correta – as equações de campo de Einstein não são usadas em GPS (imagine o número triturado envolvido e o poder do computador necessário desperdiçando toda aquela energia – sem mencionar o peso adicionado aos satélites – especialmente algumas décadas atrás)
- É ' verdade que a única coisa necessária para determinar a posição do receptor GPS em relação aos satélites é que os relógios dos satélites sejam sincronizados e a velocidade de transmissão seja a mesma. Mas isso ' é relativo aos satélites. O usuário deseja que o receptor GPS calcule sua localização na Terra, o que exige a contabilização de onde os satélites estão em órbita e como a Terra girou. É por isso que ' é por isso que os relógios dos satélites precisam ser mantidos sincronizados com os relógios no solo e porque eles são ajustados para mantê-los sincronizados.
- @ MC9000: Ninguém já afirmou que as equações de campo de Einstein são resolvidas em tempo real pelos satélites GPS ' computadores. A geometria do espaço-tempo próximo à Terra é bem aproximada pelo espaço-tempo de Schwarzschild, então resolver as equações de campo novamente não é necessário. Em particular, a dilatação do tempo em Schwarzschild é descrita por fórmulas bastante simples, portanto, nenhum processamento de números extenso seria necessário em primeiro lugar.
Resposta
Você pode descobrir mais sobre isso no excelente resumo aqui: O que o sistema de posicionamento global nos diz sobre a relatividade?
Em poucas palavras:
- Relatividade geral prevê que os relógios vá mais devagar em um campo gravitacional mais alto. Esse é o relógio a bordo dos satélites GPS “clica” mais rápido do que o relógio na Terra.
- Além disso, Relatividade especial prevê que um relógio em movimento é mais lento do que um estacionário. Portanto, este efeito tornará o relógio mais lento em comparação com o da Terra.
Como você pode ver, neste caso os dois efeitos estão agindo em direções opostas, mas seus magnitude não é igual, portanto, não se anulam.
Agora, você descobre sua posição comparando o sinal de tempo de vários satélites. Eles estão a uma distância diferente de você e isso leva tempo diferente para o sinal chegar até você.Assim, o sinal do “Satélite A diz agora que é 22:31:12” será diferente do que você “ouvirá do Satélite B no mesmo momento ). A partir da diferença de horário do sinal e conhecendo as posições dos satélites (seu GPS sabe disso), você pode triangular sua posição no solo.
Se uma não compensar as diferentes velocidades do relógio, a medição da distância estaria errada e a estimativa da posição poderia ser centenas ou milhares de metros ou mais de distância, tornando o sistema GPS essencialmente inútil.
Resposta
O efeito da dilatação do tempo gravitacional pode até mesmo ser medido se você for da superfície da Terra para uma órbita ao redor da Terra. Portanto, como os satélites GPS medem o tempo que as mensagens levam para chegar até você e retornar, é importante levar em consideração o tempo real que o sinal leva para alcançar o alvo.
Comentários
- Os sinais de GPS não retornam ao satélite, eles apenas vão para o receptor AFAIK …
- Mas o ponto principal ainda se mantém, e é que mais tempo passa no relógio do satélite ' do que seu relógio na Terra, com com relação a qualquer um de vocês.
- Curiosamente, a relatividade geral não é usada per se em cálculos para sistemas GPS. Em vez disso, um belo truque envolvendo a relatividade especial (aplicando uma série de transformações de Lorentz em etapas infinitesimais) é o que ele faz. Isso acabou sendo suficientemente preciso e muito mais fácil computacionalmente.
- Você pode detectar a dilatação do tempo apenas passando alguns dias nas montanhas. leapsecond.com/great2005/index.htm
- @endolith: … se você trouxer um relógio atômico com você!
Resposta
Não acho que o GPS " dependa da relatividade " no sentido de que uma civilização tecnológica que nunca descobriu a relatividade geral / especial seria incapaz de fazer um sistema GPS funcional. Você sempre pode comparar o relógio de um satélite com os relógios terrestres e ajuste a taxa até que eles não saiam de sincronia, quer você entenda ou não por que eles estão saindo de sincronia. Na verdade, eles os sincronizam empiricamente, não por confiar cegamente em um cálculo teórico.
Perguntar o que aconteceria se os relógios desviassem 38 μs / dia (por qualquer motivo) é um contrafactual estranho porque sugere que ninguém está mantendo o sistema, caso em que presumivelmente ele sucumbiria rapidamente a vários outros problemas de origem não relativística. Se alguém está mantendo algumas partes do sistema em sincronia, você provavelmente terá que especificar quais partes. Por exemplo, se os satélites sabem com precisão suas posições em relação a uma estrutura inercial se movendo com o centro da Terra, mas a orientação do a Terra é calculada a partir da hora do dia, então você teria um erro de posição acumulado de 38 μs de rotação da Terra, ou alguns centímetros no equador, por dia. Mas se os satélites souberem com precisão sua posição em relação a um referencial rotativo, o erro será muito menor.
A margem de erro para a posição prevista pelo GPS é $ 15 \ text {m} $. Portanto, o sistema GPS deve manter o tempo com uma precisão de pelo menos $ 15 \ text {m} / c $ que é aproximadamente $ 50 \ text {ns} $.
Então, $ 50 \ text {ns} $ erro na cronometragem corresponde para $ 15 \ text {m} $ erro na previsão da distância.
Portanto, para $ 38 \ text {μs} $ o erro na cronometragem corresponde a $ 11 \ text {km} $ erro na previsão da distância.
Se não aplicarmos correções usando GR ao GPS, será introduzido um erro de $ 38 \ text {μs} $ na cronometragem por dia .
Você mesmo pode verificar usando as seguintes fórmulas
$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … o relógio funciona relativamente mais devagar se estiver se movendo em alta velocidade.
$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … o relógio funciona relativamente mais rápido devido à baixa gravidade.
$ T_1 $ = 7 microssegundos / dia
$ T_2 $ = 45 microssegundos / dia
$ T_2 – T_1 $ = 38 microssegundos / dia
use os valores fornecidos neste excelente artigo .
E para equações, consulte Hiperfísica .
Então Stephen Hawking está certo! 🙂
Comentários
- $ R $ é o raio da Terra ou o raio da órbita?
- Mas o que ' s relevantes para GPS é a diferença entre carimbos de data / hora de diferentes satélites, certo? E, como estão na mesma altitude, devem ser deslocados no mesmo valor no tempo, de modo que as diferenças devem ser basicamente as mesmas que sem relatividade. Quer dizer, não ' importa quanto é o erro nos relógios após um dia, já que o erro de localização não é cumulativo, porque os satélites ' relógios não ' t se afastam um do outro.
- Conforme observado nesta resposta , é importante notar que os valores dados correspondem à diferença entre os fatores na terra e em órbita – o que significa que as expressões para $ T_1 $ e $ T_2 $ dadas não ' t avalia os valores fornecidos, embora os valores fornecidos estejam corretos. Dica do chapéu para Michael Seifert que apontou isso.
- @Dims 15/300000000! = 100 * 10 ^ (- 6), é igual a 5 * 10 ^ (- 8). Recebi minha resposta apenas digitando no google, mas deve ser fácil ver que 15 dividido por 3 será o 5 principal, não o 1.
- Muita desinformação aqui. De acordo com o Observatório Naval dos EUA (os criadores do GPS para substituir LORAN): O GPS NÃO usa cálculos de relatividade (repito, ele NÃO usa cálculos de relatividade).
Este é o artigo da Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html que explica muito bem por que os relógios de um satélite GPS são mais rápidos em cerca de 38 microssegundos todos os dias. O artigo então afirma que a não compensação para esses 38 microssegundos por dia faria com que um GPS ficasse cerca de 11 km por dia simplesmente inutilizável, e afirma que isso (o fato de que precisamos compensar os 38 microssegundos para fazer o GPS funcionar) é uma prova da relatividade geral.
O problema é que, embora os relógios estejam realmente errados em 38 microssegundos por dia e a Relatividade Geral está tudo bem, não teríamos que compensar isso.O GPS do carro ou do telefone não tem relógio atômico. Não tem relógio preciso o suficiente para ajudar com o GPS. Ele não mede quanto tempo o sinal levou para ir do satélite A ao GPS. Ele mede a diferença entre o sinal do satélite A e o sinal do satélite B (e mais dois satélites). Isso funciona se os relógios forem rápidos: Como contanto que sejam todos rápidos exatamente na mesma quantidade, ainda obtemos os resultados certos.
Ou seja, quase. Os satélites não param. Portanto, se confiarmos em um relógio que está 38 microssegundos mais rápido por dia, fazemos os cálculos com base na posição de um satélite que está desligado por 38 microssegundos por dia. Portanto, o erro não é (velocidade da luz vezes 38 microssegundos vezes dias), é (velocidade do satélite vezes 38 microssegundos vezes dia). Isso é cerca de 15 cm por dia. Bem, as posições dos satélites são corrigidas uma vez por semana. Espero que ninguém pense que poderíamos prever a posição de um satélite por muito tempo sem nenhum erro.
De volta à suposição original, que sem compensação o erro seria de 11 km por dia: Os relógios dos satélites são multiplicados por um fator tímido de 1 para que eles andem na velocidade correta. Mas isso não funcionaria. O efeito que produz 38 microssegundos por dia não é constante. Quando o satélite sobrevoa um oceano, a gravidade é menor. A velocidade do satélite muda o tempo todo porque o satélite não voa em um círculo perfeito em torno de uma terra perfeitamente redonda feita de um material perfeitamente homogêneo. Se o GR criou um erro de 11 km por dia sem compensação, então é bastante inconcebível que uma simples multiplicação de a velocidade do clock seria boa o suficiente para reduzir isso e tornar o GPS utilizável.
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- Legal. Mas eu devo dizer isso do ponto de vista filosófico posição de um experimentador, uma máquina que faz os operadores arrancarem seus cabelos (o que o GPS faria na ausência de GR) não está ' funcionando até que esses comportamentos sejam compreendidos (o que aconteceria quando alguém inventou o GR para explicar a anomalia). Mas isso ' é um ponto filosófico.
- Esta é a única resposta correta nesta página. GPS foi uma evidência significativa para GR porque podemos comparar a velocidade dos relógios em órbita com os da Terra. No entanto, a precisão do sistema GPS não ' t depende dos satélites mantendo a hora exata. Contanto que mantenham o mesmo tempo, o sistema funcionará.
- Na verdade, o GPS é uma " prova " de GR pelo motivo que você indicou. gnasher tem a resposta correta – as equações de campo de Einstein não são usadas em GPS (imagine o número triturado envolvido e o poder do computador necessário desperdiçando toda aquela energia – sem mencionar o peso adicionado aos satélites – especialmente algumas décadas atrás)
- É ' verdade que a única coisa necessária para determinar a posição do receptor GPS em relação aos satélites é que os relógios dos satélites sejam sincronizados e a velocidade de transmissão seja a mesma. Mas isso ' é relativo aos satélites. O usuário deseja que o receptor GPS calcule sua localização na Terra, o que exige a contabilização de onde os satélites estão em órbita e como a Terra girou. É por isso que ' é por isso que os relógios dos satélites precisam ser mantidos sincronizados com os relógios no solo e porque eles são ajustados para mantê-los sincronizados.
- @ MC9000: Ninguém já afirmou que as equações de campo de Einstein são resolvidas em tempo real pelos satélites GPS ' computadores. A geometria do espaço-tempo próximo à Terra é bem aproximada pelo espaço-tempo de Schwarzschild, então resolver as equações de campo novamente não é necessário. Em particular, a dilatação do tempo em Schwarzschild é descrita por fórmulas bastante simples, portanto, nenhum processamento de números extenso seria necessário em primeiro lugar.
Você pode descobrir mais sobre isso no excelente resumo aqui: O que o sistema de posicionamento global nos diz sobre a relatividade?
Em poucas palavras:
- Relatividade geral prevê que os relógios vá mais devagar em um campo gravitacional mais alto. Esse é o relógio a bordo dos satélites GPS “clica” mais rápido do que o relógio na Terra.
- Além disso, Relatividade especial prevê que um relógio em movimento é mais lento do que um estacionário. Portanto, este efeito tornará o relógio mais lento em comparação com o da Terra.
Como você pode ver, neste caso os dois efeitos estão agindo em direções opostas, mas seus magnitude não é igual, portanto, não se anulam.
Agora, você descobre sua posição comparando o sinal de tempo de vários satélites. Eles estão a uma distância diferente de você e isso leva tempo diferente para o sinal chegar até você.Assim, o sinal do “Satélite A diz agora que é 22:31:12” será diferente do que você “ouvirá do Satélite B no mesmo momento ). A partir da diferença de horário do sinal e conhecendo as posições dos satélites (seu GPS sabe disso), você pode triangular sua posição no solo.
Se uma não compensar as diferentes velocidades do relógio, a medição da distância estaria errada e a estimativa da posição poderia ser centenas ou milhares de metros ou mais de distância, tornando o sistema GPS essencialmente inútil.
O efeito da dilatação do tempo gravitacional pode até mesmo ser medido se você for da superfície da Terra para uma órbita ao redor da Terra. Portanto, como os satélites GPS medem o tempo que as mensagens levam para chegar até você e retornar, é importante levar em consideração o tempo real que o sinal leva para alcançar o alvo.
Comentários
- Os sinais de GPS não retornam ao satélite, eles apenas vão para o receptor AFAIK …
- Mas o ponto principal ainda se mantém, e é que mais tempo passa no relógio do satélite ' do que seu relógio na Terra, com com relação a qualquer um de vocês.
- Curiosamente, a relatividade geral não é usada per se em cálculos para sistemas GPS. Em vez disso, um belo truque envolvendo a relatividade especial (aplicando uma série de transformações de Lorentz em etapas infinitesimais) é o que ele faz. Isso acabou sendo suficientemente preciso e muito mais fácil computacionalmente.
- Você pode detectar a dilatação do tempo apenas passando alguns dias nas montanhas. leapsecond.com/great2005/index.htm
- @endolith: … se você trouxer um relógio atômico com você!
Não acho que o GPS " dependa da relatividade " no sentido de que uma civilização tecnológica que nunca descobriu a relatividade geral / especial seria incapaz de fazer um sistema GPS funcional. Você sempre pode comparar o relógio de um satélite com os relógios terrestres e ajuste a taxa até que eles não saiam de sincronia, quer você entenda ou não por que eles estão saindo de sincronia. Na verdade, eles os sincronizam empiricamente, não por confiar cegamente em um cálculo teórico.
Perguntar o que aconteceria se os relógios desviassem 38 μs / dia (por qualquer motivo) é um contrafactual estranho porque sugere que ninguém está mantendo o sistema, caso em que presumivelmente ele sucumbiria rapidamente a vários outros problemas de origem não relativística. Se alguém está mantendo algumas partes do sistema em sincronia, você provavelmente terá que especificar quais partes. Por exemplo, se os satélites sabem com precisão suas posições em relação a uma estrutura inercial se movendo com o centro da Terra, mas a orientação do a Terra é calculada a partir da hora do dia, então você teria um erro de posição acumulado de 38 μs de rotação da Terra, ou alguns centímetros no equador, por dia. Mas se os satélites souberem com precisão sua posição em relação a um referencial rotativo, o erro será muito menor.