Tenho lido frequentemente que metais que são líquidos de Fermi devem ter uma resistividade que varia com a temperatura como $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Acho que $ T ^ 2 $ parte é a resistência devido às interações elétron-elétron e o termo constante é devido ao espalhamento de impureza.
Existe um argumento simples para mostrar isso? Ou talvez você pudesse me apontar uma boa referência?
Além disso, parece que para as interações elétron-elétron introduzirem uma resistividade finita, algum espalhamento umklapp é necessário (para quebrar a invariância galileana e translacional). Isso está correto? Qual dessas simetrias (galileana ou translacional) deve ser quebrada?
Comentários
- Estou procurando uma resposta melhor, mas meu entendimento simples é da seguinte maneira: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. E $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ é o que define o comportamento do líquido Fermi.
- O escalonamento $ T ^ 2 $ precisa de Umklapp e de espalhamento elétron-elétron. Efetivamente, uma vizinhança $ O (kT) $ da superfície de Fermi para quasipartículas participa nas interações que implicam na escala, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Isso ‘ é o que eu estava pensando também, mas onde entra o umklapp?
- Alguém tem boas referências sobre o cálculo do efeito de umklapp na teoria do líquido de Fermi?
- Existem alguns argumentos ” espaço de fase ” simples para motivar a dependência $ T ^ 2 $; você os encontrou, @jjj?
Resposta
Como a interação elétron-elétron leva a um $ T A dependência de ^ {2} $ pode ser explicada pelo entendimento das restrições colocadas no espalhamento elétron-elétron pela conservação do momento e pelo Princípio de Exclusão.
Considere a superfície fermi de um gás de elétron em 3D. A superfície de Fermi é uma esfera de raio $ k_ {f} $. Em temperaturas finitas, os elétrons ocupam estados fora da superfície de Fermi governados pela equação de Fermi Dirac, caracterizados por uma concha fora da esfera de Fermi com um raio proporcional à temperatura. Existem, portanto, estados vazios dentro da esfera de Fermi dentro de uma concha do mesmo raio.
Se ativarmos as interações elétron-elétron, em pequenas intensidades de interação, podemos considerá-lo como um espalhamento de elétrons entre esses estados na imagem de não interação acima. Os elétrons, sendo férmions, só podem ocupar estados que já não estão ocupados, junto com a conservação satisfatória do momento. Assim, temos que escolher dois elétrons, ambos nas camadas de raio proporcional a T, em cada lado da superfície do raio $ k_ {f} $, de modo que se possa espalhar em um estado vazio fora de $ k_ {f} $ superfície e a outra em um estado vazio na casca dentro da superfície $ k_ {f} $. Assim, a probabilidade de escolher dois desses elétrons é proporcional a $ T ^ 2 $.
Como a contribuição para a resistividade é proporcional à probabilidade desses eventos de espalhamento, essas interações levam a $ T ^ 2 $ dependência na resistividade.
Existem argumentos mais rigorosos, mas acho que isso dá uma imagem intuitiva, válida no contexto de interações fracas e baixa temperatura.
Resposta
Ou talvez você pudesse me indicar uma boa referência?
Os detalhes por trás da seguinte resposta podem ser encontrados no seguinte artigo arXiv (e referências nele) arXiv: 1109.3050v1 .
Existe um argumento simples para mostrar isso?
Parece que não, mas posso dizer o seguinte. A condutividade devido a colisões elétron-elétron é geralmente dada por: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ onde $ \ sigma $ é a condutividade elétrica, $ n $ é a densidade do número de elétrons, $ e $ é a carga fundamental , $ m $ é a massa do elétron e $ \ tau_ {coll} $ é a escala de tempo médio de colisão (ou taxa de relaxamento). Observe que a resistividade , $ \ eta $, é apenas o inverso da condutividade na aproximação escalar.
Para um líquido Landau-Fermi , a taxa de relaxamento média para elétrons em uma superfície de Fermi pode ser mostrada como: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ onde $ \ alpha $ é a eficiência da transferência de momento para a rede iônica como uma quantidade adimensional que satisfaz $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ é o Constante de Boltzmann , $ \ hbar $ é a constante de Planck , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ é a probabilidade de transição para espalhamento inelástico.
Citando o artigo arXiv referenciado acima:
No entanto, o fato de um sólido não possuir simetria de translação completa tem consequências importantes. Já em 1937, Baber demonstrou um mecanismo para resistividade finita em um modelo de duas bandas em que $ s $ elétrons são espalhados de buracos $ d $ mais pesados por uma interação de Coulomb filtrada … Processos Umklapp de banda única permitem transferência de momento para o sistema de coordenadas do cristal …
onde Processos Umklapp referem-se ao elétron- phonon e / ou espalhamento fônon-fônon em uma rede. Os autores também mostram que o termo entre colchetes angulares pode ser integrado ao seguinte: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ direita)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ onde $ \ lambda _ {\ tau} $ é um parâmetro adimensional que descreve a interação efetiva em polaron -espalhamento polar e $ \ epsilon_ {F} * $ é a energia de Fermi dos polarons. Depois de um pouco de álgebra, podemos mostrar que: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Assim, a resistividade é proporcional a $ \ eta \ propto T ^ {2} $.