Princípio ' de Hamilton

As notas da semana 1 de O curso de John Baez em mecânica Lagrangiana dá algumas dicas sobre as motivações dos princípios de ação.

A ideia é que menos ação pode ser considerada uma extensão do princípio do trabalho virtual. Quando um objeto está em equilíbrio, não é preciso trabalho para fazer um pequeno deslocamento arbitrário sobre ele, i. e. o produto escalar de qualquer vetor de deslocamento pequeno e a força é zero (neste caso porque a própria força é zero).

Quando um objeto está acelerando, se adicionarmos uma “força inercial” igual a $ \, – ma \, $ , então um deslocamento pequeno, arbitrário e dependente do tempo da trajetória verdadeira dos objetos teria novamente zero produto escalar com $ \, F-ma, \, $ a verdadeira força e a força inercial adicionadas. Isso dá

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

De lá, alguns cálculos encontrados nas notas levam à integral de ação estacionária.

Baez discute D “Alembert mais do que Hamilton, mas de qualquer forma é uma visão interessante das origens da ideia.

Comentários

• Observe que o princípio do trabalho virtual é denominado D ‘ Princípio de Alembert: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Há também a abordagem de Feynman, ou seja, a menor ação é verdadeira classicamente apenas porque é verdadeira mecanicamente, e a física clássica é melhor considerada como uma aproximação da abordagem quântica subjacente. Consulte http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html ou http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

Basicamente, tudo é resumido em poucas palavras em R ichard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1964), Vol. II, cap. 19. (Eu acho, por favor me corrija se eu estiver errado aqui). A idéia fundamental é que a integral de ação define a amplitude da mecânica quântica para a posição da partícula, e a amplitude é estável aos efeitos de interferência (-> tem probabilidade diferente de zero de ocorrência) apenas em pontos extremos ou de sela da integral de ação. A partícula realmente explora todos os caminhos alternativos de forma probabilística.

Você provavelmente quer ler as Palestras de Feynman sobre Física de qualquer maneira, então pode pensar vamos começar agora. 🙂

Comentários

• Feynman ‘ s As aulas de física são boas, mas é melhor ler depois ter aprendido adequadamente o assunto, a fim de fornecer uma visão nova / mais aprofundada, creio.

Como você pode ver na imagem abaixo, você deseja que a variação da integral de ação seja mínima, portanto $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ deve ser $ 0 $. Caso contrário, você não está seguindo o caminho verdadeiro entre $ q_ {t_ {1}} $ e $ q_ {t_ {2}} $, mas um caminho um pouco mais longo. No entanto, mesmo seguindo $ \ delta S = 0 $, como você sabe, você pode acabar com outro extremo.

Seguindo o link de jc, você pode encontrar On a General Method on Dynamics , que provavelmente responde à sua pergunta sobre o raciocínio de Hamilton. Eu não li mas quase certamente vale a pena.

Comentários

• Isso parece uma resposta tautológica, pois é precisamente Hamilton ‘ o princípio que é usado para chegar à imagem acima em primeiro lugar.
• Talvez você tenha aprendido o princípio ‘ de Hamilton e chegou a ele imagem como explicação, mas a imagem é perfeitamente geral. Ele descreve a variação de uma função com pontos finais fixos.

Geralmente conto a história de que o princípio de ação é outra maneira de obter as mesmas equações diferenciais – então, no nível da mecânica, os dois são equivalentes. No entanto, quando se trata de teoria quântica de campos, a descrição em termos de integrais de caminho sobre a ação exponenciada é essencial ao considerar os efeitos instanton. Então, eventualmente, descobre-se que a formulação em termos de ações é mais fundamental e mais sólida fisicamente.

Mas, ainda assim, as pessoas não têm uma “sensação” para a ação da mesma forma que sentem para a energia.

Vamos lembrar que as equações de movimento com inicial as condições $ q (0), (dq / dt) (0) $ foram avançadas primeiro e o princípio de menor ação foi formulado posteriormente, como uma sequência. Embora bonito e elegante matematicamente, o o princípio da ação mínima usa alguma condição “limite” futura $ q (t_2) $, que é fisicamente desconhecida. Não há princípio da ação mínima operando apenas com as condições iniciais.

Além disso, está implícito que o equações têm soluções físicas. Isso é assim na Mecânica Clássica, mas está errado na Eletrodinâmica Clássica. Portanto, mesmo derivadas do “princípio” formalmente correto, as equações podem estar erradas no nível físico e matemático. Respeito, formular as equações físicas corretas é uma tarefa mais fundamental para os físicos do que confiar em algum “princípio” de obtenção de equações “automaticamente”. Somos nós, os físicos, os responsáveis por formular corretamente as equações.

No CED, QED e QFT, é necessário “reparar on go” as soluções erradas apenas porque a física foi adivinhada e inicialmente implementada incorretamente. p>

PS Eu gostaria de mostrar como na realidade o sistema “escolhe” sua trajetória: se em $ t = 0 $ a partícula tem um momento $ p (t) $, então na próxima vez $ t + dt $ ela tem um momento $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Este incremento é bastante local no tempo, é determinado pelo valor da força presente $ F (t) $, portanto, nenhuma condição “limite” futura pode determiná-lo. A trajetória não é “escolhida” entre as virtuais; é “desenhado” pelos valores instantâneos de força, coordenada e velocidade.

Comentários

• Gosto de pensar que ambas as opções são meramente matemáticas modelos e nenhum é mais real. Nem o sistema escolhe sua trajetória nem o futuro determina o caminho de menor ação. A não localidade de QM leva a dúvidas semelhantes.
• Surpreendentemente, agora existe um princípio de ação mínima operando apenas com as condições iniciais! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Aqui está um versão do arXiv . Sem ler o artigo em detalhes, cheira a um clássico formalismo de Keldysh , cf. este e este Phys.SE postagens.

Em vez de especificar a posição inicial e o momento, como fizemos no formalismo de Newton, vamos reformular nossa pergunta da seguinte maneira:

Se escolhermos especificar as posições inicial e final: $ \ textbf {Qual caminho a partícula segue?} $

Vamos” afirmam que podemos recuperar o formalismo de Newton pelo seguinte formalismo, o chamado formalismo Lagrangiano ou princípio hamiltoniano.

Para cada caminho ilustrado na figura acima, atribuímos um número que chamamos de ação

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

onde este integrando é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial.

$ \ textbf {afirmações do princípio de Hamilton} $: O verdadeiro caminho percorrido pela partícula é um extremo de S.

$ \ textbf {Prova:} $

1.Mude ligeiramente o caminho:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Mantenha fixos os pontos finais do caminho :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Faça a variação da ação $ S $:

finalmente, você obterá

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

A condição em que o caminho com que começamos é um extremo da ação é

$$ \ delta S = 0 $$

que deve valer para todas as alterações $ \ delta \ vec {r} (t) $ que fazemos no caminho. A única maneira de isso acontecer é se a expressão em $ [\ cdots] $ for zero.Isso significa

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Agora reconhecemos isso como $ \ textbf {equações de Newton} $. Exigir que a ação seja extrema é equivalente a exigir que o caminho obedeça às equações de Newton.

Para mais detalhes, você pode ler esta palestra em PDF.

Espero que ajude.

Comentários

• Se vemos uma partícula restrita a se mover em uma esfera, chegamos aos caminhos um é máximo ou mínimo. Eu sinto que uma partícula segue o caminho de menor ação, mas a equação matemática δS = 0 nos dá uma resposta ambígua, mas uma certa parte dessa resposta contém um caminho de menor ação. Você pode ver Arfken e Weber.