Comentários
- Não há necessidade real de fazer isso, embora seja de se esperar. É ' é na verdade uma identidade muito mais básica do que qualquer coisa que exigiria uma integral. Você só precisa embaralhar os operadores de um lado para o outro da expressão do bra-ket, usando a definição do conjugado hermitiano.
Resposta
Como leftaroundabout escreveu, a integração por partes é inútil. Você não tem as expressões para os operadores, então não há razão para isso. Mas você pode usar o seguinte: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} onde usei a definição de conjugado hermitiano, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ e base $ | c \ rangle $ dos autovetores de um operador em um espaço de Hilbert, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Resposta
Você realmente não precisa escolher uma base, conforme indicado em Resposta de Andrew McAdams.
Isso é mais fácil de provar em notação matemática (em oposição à notação de Dirac) onde $ (\ cdot, \ cdot) $ é o produto interno, então para todos os vetores $ \ phi $ e $ \ psi $ no espaço de Hilbert, e para os operadores $ A $ e $ B $, temos \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {alinhar} enquanto, por outro lado, \ begin {alinhar} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} que implica $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ conforme desejado.
Comentários
- e aqui como uma única linha, só para constar: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dagger = B ^ \ dagger A ^ \ dagger $