Qual é a diferença entre atraso de fase e atraso de grupo?

Em primeiro lugar, as definições são diferentes:

• Atraso de fase: (o negativo de) Fase dividido pela frequência
• Atraso de grupo: (o negativo de) Primeira derivada de fase vs frequência

Em palavras que significa:

• Atraso de fase: Ângulo de fase neste ponto da frequência
• Atraso de grupo: Taxa de mudança da fase em torno deste ponto de frequência.

Quando usar um ou outro realmente depende da sua aplicação. A aplicação clássica para atraso de grupo são ondas senoidais moduladas, por exemplo, rádio AM. O tempo que leva para o sinal de modulação passar pelo sistema é dado pelo atraso de grupo e não pelo atraso de fase. Outro exemplo de áudio poderia ser um bumbo: trata-se principalmente de uma onda senoidal modulada, portanto, se você quiser determinar quanto o bumbo será atrasado (e potencialmente borrado no tempo), o atraso do grupo é a melhor maneira de ver isso.

Comentários

• ” Fase absoluta neste ponto da frequência ” Não ‘ isso seria apenas chamado de ” fase “?
• Eu quis dizer ” absoluto ” em comparação com ” relativo “, mas vejo que isso pode ser confundido com ” valor absoluto “. Eu ‘ vou editá-lo
• uma última diferença importante: o atraso de fase em alguma frequência $ f $ é o atraso de tempo do A fase do sinal quase senoidal de frequência $ f $ passou pelo filtro. o atraso de grupo é o atraso de tempo do envelope ou do ” grupo ” do quase-senoide.

Eles não medem ambos quanto uma sinusóide está atrasada. O atraso de fase mede exatamente isso. O atraso de grupo é um pouco mais complicado. Imagine uma onda senoidal curta com um envelope de amplitude aplicado a ela para que apareça e desapareça, digamos, uma gaussiana multiplicada por uma sinusóide . Este envelope tem uma forma e, em particular, tem um pico que representa o centro daquele “pacote”. Atraso de grupo diz a você quanto aquele envelope de amplitude será atrasado, em particular, quanto o pico daquele pacote irá avançar.

Gosto de pensar sobre isso voltando à definição de atraso de grupo: é a derivada da fase. A derivada fornece uma linearização da resposta de fase naquele ponto. Em outras palavras, em alguma frequência, o atraso do grupo está informando aproximadamente como a resposta de fase das frequências vizinhas se relaciona com a resposta de fase naquele ponto. Agora, lembre-se de como estamos usando uma sinusóide modulada em amplitude. A modulação em amplitude pegará o pico da sinusóide e introduzirá bandas laterais nas frequências vizinhas. Então, de certa forma, o atraso do grupo está dando a você informações sobre como as bandas laterais serão atrasadas em relação à frequência da portadora e a aplicação desse atraso mudará a forma do envelope de amplitude de alguma forma.

O coisa doida? Filtros causais podem ter atraso de grupo negativo!Pegue sua gaussiana multiplicada por uma sinusóide: você pode construir um circuito analógico de forma que, ao enviar esse sinal, o pico do envelope apareça na saída antes da entrada. Parece um paradoxo, já que parece que o filtro tem que “ver” o futuro. É definitivamente estranho, mas uma maneira de pensar sobre isso é que, como o envelope tem uma forma muito previsível, o filtro já tem informações suficientes para antecipar o que vai acontecer. Se um pico fosse inserido no meio do sinal, o filtro não iria antecipar isso. Este é um artigo realmente interessante sobre isso: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Comentários

• Quando você diz ” picture a … “, uma imagem real seria muito útil aqui.

Para aqueles que ainda não sabem a diferença, aqui está um exemplo simples

Pegue uma linha de transmissão longa com um sinal quase senoidal simples com um envelope de amplitude, $ a (t) $ , em sua entrada

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Se você medir este sinal na transmissão fim da linha, $ y (t) $ , pode vir em algum lugar assim:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

onde $ \ phi $ é a diferença de fase da entrada para saída.

Se você quiser quanto tempo leva para a fase da sinusóide, $ \ sin (\ omega t) $ transmissão da entrada para a saída e depois $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ é sua resposta em segundos.

Se você quiser quanto tempo leva o envelope , $ a (t) $ , da transmissão senoidal da entrada para a saída e, em seguida, $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ é sua resposta em segundos.

O atraso de fase é apenas o tempo de viagem para uma única frequência enquanto o atraso de grupo é a medida da distorção de amplitude se uma matriz de múltiplas frequências for aplicada.

Eu sei que isso é uma bela velha pergunta, mas estou procurando uma derivação das expressões para atraso de grupo e atraso de fase na internet. Não existem muitas dessas derivações na rede, por isso pensei em compartilhar o que descobri. Além disso, observe que esta resposta é mais uma descrição matemática do que intuitiva. Para descrições intuitivas, consulte as respostas acima. Então, aqui vai:

Vamos considerar um sinal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

e passe por um LTI sistema com resposta de frequência

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Consideramos o ganho do sistema como unidade porque estamos interessados em analisar como o sistema altera a fase do sinal de entrada, ao invés do ganho. Agora, dado que a multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da frequência, a transformada de Fourier do sinal de entrada é dada por

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

o que equivale a

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Portanto, a saída do sistema tem um espectro de frequência dado por

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Agora, para encontrar a transformada de Fourier inversa da expressão acima, precisamos saber a forma analítica exata para $ \ phi (\ omega) $ . Portanto, para simplificar as coisas, assumimos que o conteúdo de frequência de $ a (t) $ inclui apenas aquelas frequências que são significativamente mais baixas do que a frequência portadora $ \ omega_0 $ . Neste cenário, o sinal $ x (t) $ pode ser visto como um sinal modulado em amplitude, onde $ a (t ) $ representa o envelope do sinal cosseno de alta frequência. No domínio da frequência, $ B (j \ omega) $ agora contém duas faixas estreitas de frequências centralizadas em $ \ omega_0 $ e $ – \ omega_0 $ (consulte a equação acima).Isso significa que podemos usar uma expansão da série de Taylor de primeira ordem para $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

onde $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Conectando isso, podemos calcular a transformada inversa de Fourier da primeira metade de $ B (j \ omega) $ como

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Substituindo $ \ omega – \ omega_0 $ para $ \ omega “$ , torna-se

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega “)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega “$$

que simplifica para

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Conectando as expressões para $ \ alpha $ e $ \ beta $ , torna-se

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Da mesma forma, a outra metade de a transformada inversa de Fourier de $ B (j \ omega) $ pode ser obtida substituindo $ \ omega_0 $ por $ – \ omega_0 $ . Observando que para sinais reais, $ \ phi (\ omega) $ é uma função ímpar, torna-se

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Assim , somando os dois, obtemos $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Observe os atrasos no envelope $ a (t) $ e o sinal cosseno da portadora. Atraso de grupo $ (\ tau_g) $ corresponde ao atraso no envelope enquanto o atraso de fase $ (\ tau_p) $ corresponde ao atraso na portadora. Assim,

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

O atraso de fase de qualquer filtro é a quantidade de atraso que cada componente de frequência sofre ao passar pelos filtros (se um sinal consistir em várias frequências.)

O grupo atraso é o atraso de tempo médio do sinal composto sofrido em cada componente da frequência.