Até agora em nossa aula, definimos os operadores de criação $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ no da seguinte forma, que dissemos:
Alguém deu a você um estado de partícula N anti-simétrico ou simétrico e agora $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ coloca outra partícula no estado n, para que possamos terminar com um estado de partícula N + 1 simétrico / anti-simétrico. Esta interpretação é de alguma forma clara para mim no sentido de que estes operadores $ a ^ {\ dagger}, a $ evitam os determinantes slater complicados e assim por diante. Apesar disso, ainda estamos lidando com estados de produto simetrizados / antissimetrizados bem definidos que são estendidos ou reduzidos em um estado, que estão ocultos por trás desta notação.
Agora, também definimos operadores de campo em QM por $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {todos os estados}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Dissemos que eles criam uma partícula na posição $ r $ . De alguma forma, não está claro para mim o que isso significa:
Criar uma partícula em uma posição exata $ r_0 $ em QM significaria que agora temos um estado adicional $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ em nosso determinante slater. Duvido que essa seja a ideia por trás disso. Mas, como os operadores $ a_i ^ {\ dagger} $ atuam no estado de $ N $ -partícula e mapeiam para $ N + 1 $ estados de partícula, o mesmo deve ser verdadeiro para $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . No entanto, tenho dificuldade em interpretar o resultado.
Se algo não estiver claro, por favor me avise.
Resposta
O $ \ psi_i $ em sua soma não precisa ser funções delta. Você pode pensar, por exemplo, como sendo autofunções de energia $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$, assim, criar uma partícula em $ r $ significa que você obtém uma superposição de todas as maneiras possíveis uma partícula pode estar em $ r $ (nesta escolha particular de base): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {números complexos}} | i \ rangle $$ onde $ | 0 \ rangle $ é o estado de vácuo (ou estado fundamental, se você quiser) e $ | i \ rangle $ é o estado Fock com uma partícula no n-ésimo modo. Você pode pensar nesta equação como afirmando que para cada $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ é a amplitude da probabilidade de encontrar a partícula na posição $ r $ se você souber que ela está no estado $ i $.
Comentários
- a interpretação de criar uma superposição de todas as maneiras possíveis de uma partícula chegar à posição $ r $ parece significativa para mim. Quer dizer, o que fazemos é, se bem entendi, que criamos uma partícula em qualquer autoestado e procuramos a amplitude de probabilidade de que essa partícula esteja na posição $ r $. O que eu não ' não vejo é como essa noção está relacionada à criação real de uma partícula na posição $ r $. Se você pensar sobre isso, então essas são duas coisas diferentes. Você poderia tentar explicar o que queremos modelar com este operador de campo?
- Isso realmente depende do contexto. A " interpretação da partícula " nem sempre é adequada; de maneira mais geral, você pode pensar nesses operadores como criando / aniquilando estados quânticos. No contexto de QFT, esses estados são de fato (normalmente) estados de partículas e $ | 0 \ rangle $ o estado sem partículas e, portanto, a terminologia. Mas, por exemplo, no NRQM isso geralmente não é verdade, e o " estado de vácuo " é, neste caso, apenas o estado fundamental do sistema . Eles " criam " / " destroem " estados no sentido de que enviam um determinado espaço Fock para outro com um estado adicional / menos desse tipo específico.
Resposta
Pense nisso como uma mudança de base. $ a_i ^ \ dagger $ cria uma partícula no estado $ | i \ rangle $. Agora, este estado $ | i \ rangle $ pode ser escrito em termos dos estados de posição $ | r \ rangle $ como $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ assim, criar uma partícula neste estado é equivalente a criar uma partícula em um estado de superposição de posição com o peso apropriado $ \ psi_i (r) $. Equivalentemente, uma partícula localizada em $ | r \ rangle $ pode ser descrita como estando em uma superposição de estado $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ e, assim, criando uma partícula no estado $ | r \ rangle $, o operador $ \ psi ^ \ dagger (r) $ é definido pelo operador $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Comentários
- desculpe, mas esta resposta é altamente confusa. você parece somar posições. Observe, essa posição não é discreta! Portanto, tenho sérios problemas para entender seus $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: that ' s apenas notações (pense em uma versão discretizada do espaço). Mas acabei de mudar para integral, se isso faz você se sentir melhor.