O sinal da etapa da unidade definido como
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
tem três soluções possíveis para sua representação de domínio de Fourier dependendo do tipo de abordagem. Estes são os seguintes –
- A abordagem amplamente seguida (Oppenheim Textbook) – calculando a transformada de Fourier da função de passo de unidade a partir da transformada de Fourier da função signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Transformada de Fourier calculada a partir da transformada Z da função de etapa de unidade (Consulte Proakis Textbook, Digital Signal Processing Algorithms and applications , páginas 267.268 seção 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Transformação de Fourier calculada pela divisão em funções pares e ímpares – seguida no livro Proakis (consulte o livro Proakis, Algoritmos e aplicativos de processamento de sinal digital , página 618 seção 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
A 2ª representação pode ser ignorada, pois não é uma função bem-comportada . Mas as abordagens seguidas por Proakis e Oppenheim são igualmente válidas (eles estendem a transformada de Fourier para incluir impulsos no domínio da frequência). Mas a confusão é que eles fornecem soluções diferentes.
Há algum erro no meu entendimento? ou estou perdendo algum ponto crucial? Por favor, ajude-me a entender isso e o formulário correto que pode ser usado em todas as aplicações. (Descobri que a abordagem de Oppenheim é usada para derivar as relações de Kramers-Kronig e a abordagem de Proakis usada na derivação da transformada de Hilbert)
Resposta
Observe que a primeira expressão é a transformada de Fourier da etapa unitária contínua $ u (t) $, portanto, não se aplica à sequência de etapas de tempo discreto $ u [ n] $. Além disso, a segunda e a terceira expressões estão corretas e são idênticas se você levar em consideração que a segunda expressão não reivindica validade em múltiplos inteiros de $ 2 \ pi $.
Se deixamos de fora as frequências angulares em múltiplos de $ 2 \ pi $, a terceira expressão torna-se
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
que é idêntico à segunda expressão.
Comentários
- Muito obrigado! Sim, o segundo e o terceiro são equivalentes, mas no terceiro, eles têm composição incluindo o impulso nos pólos. Obrigado pelo esclarecimento
Resposta
Como Matt disse, a segunda e a terceira definições são as mesmas, exceto por a parte com impulso. O impulso ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) conta para o valor DC de $ u [n] $ . Sem esse termo (ou seja, a segunda definição) é realmente o FT de $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Temos $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . E, portanto, o FT de $ u [n] $ tem o termo adicional para contabilizar a adição de $ \ frac {1 } {2} $ . Além disso, o tempo discreto FT (ou DTFT) de $ u [n] $ é escrito corretamente como $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
A primeira definição, $ U (j \ omega) $ é o “tempo contínuo “FT (ou CTFT) de $ u (t) $ (não $ u [n] $ ) e, portanto, diferente das outras duas definições.