Qual é o significado físico do Grupo Heisenberg?

Você pode gostar de ver:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf capítulo 13,

ie as palestras “Mecânica Quântica para Matemáticos: O grupo de Heisenberg e o Representação de Schrodinger “de Peter Woit, em que o significado do grupo de Heisenberg é discutido em detalhes. Mas seu significado físico NÃO é como um grupo de simetrias da situação física. Portanto, tome cuidado com as analogias estreitas entre a relação de comutação canônica e o finito ( diga $ n $ ) dimensional Hiesenberg Lie group $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . A coisa no RHS da relação $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ na álgebra dimensional finita $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NÃO é a matriz de identidade – é simplesmente algo que comuta com tudo o mais na álgebra de Lie. Foi Hermann Weyl quem apontou que a relação de comutação canônica não pode estar se referindo a uma álgebra de Lie de dimensão finita: em tais álgebras, um colchete de Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (entre matrizes quadradas) tem traço zero mas a matriz de identidade (ou um múltiplo escalar, como no RHS do CCR) não. Deve-se passar para os operadores em espaços Hilbert de dimensão infinita ( $ eg $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) para encontrar a realização completa da relação de comutação canônica.

Outra maneira de entender que o comportamento da álgebra de Lie de Heisenberg da matriz de dimensão finita é radicalmente diferente do CCR é o próprio princípio da incerteza. O produto das incertezas RMS para medições simultâneas de dois observáveis não comutáveis $ \ hat {a}, \ hat {b} $ dado um estado quântico $ \ psi $ é limitado a partir de baixo pelo número real positivo $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ onde $ \ esquerda [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (ver seção 10.5 da edição 3 de Merzbacher “Mecânica Quântica”). Se $ c $ é uma matriz quadrada finita e, como na álgebra de Heisenberg, não é de classificação de linha completa, existem certos estados (aqueles em $ c $ “s espaço nulo) onde o produto da incerteza pode ser zero. Portanto, a álgebra da matriz de dimensão finita não pode” modelar “o postulado físico de Heisenberg.

Veja também o artigo da Wikipedia sobre o grupo Heisenberg.

Comentários

• Pequeno comentário para a resposta (v2): O sinal na representação Schroedinger exibida de $ p $ não é o sinal convencional.