Esta é uma resposta de baixa precisão – mas simples

Ele permite que você calcule apenas a configuração de alinhamento radial dos planetas.

Se desejar uma aproximação, digamos, você aproxima a posição dos planetas como ponteiros de um relógio, você poderia calcular a matemática por algo assim.

Suponha que $ \ theta_i $ seja o ângulo inicial para o planeta $ i $ no tempo $ t_0 $ – medido de um ponto arbitrário, mas fixo posição, e $ l_i $ é a duração do ano – em dias – para o planeta $ i $.

Em seguida, ele retoma a resolução deste sistema de equações:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

A partir daqui, você simplesmente aplicaria o Teorema do restante chinês .

Encontrar o x mínimo, lhe dará o ângulo que o planeta que em $ t_0 $ tinha o ângulo $ \ theta_i = 0 $ teria viajado até que uma configuração de alinhamento fosse alcançada. UMA supondo que você escolha a Terra como o planeta mencionado, então divida esse ângulo por uma revolução completa ($ 360 ^ {o} $) e você obterá o número de anos para essa configuração ser alcançada – a partir da configuração $ t_0 $.

Os diferentes $ \ theta_i $ em graus para todos os planetas em 01 de janeiro de 2014 – você pode usar isso como seu $ t_0 $:

\ begin {align} Mercúrio & \ quad 285,55 \\ Venus & \ quad 94,13 \\ Earth & \ quad 100,46 \\ Marte & \ quad 155,60 \\ Júpiter & \ quad 104,92 \\ Saturno & \ quad 226,71 \ \ Uranus & \ quad 11,93 \\ Neptune & \ quad 334,90 \ end {align}

Fonte

Os diferentes $ l_i $ em dias para todos os planetas:

\ begin {align} Mercúrio & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365,26 \\ Marte & \ quad 687 \\ Júpiter & \ quad 4332.6 \\ Saturno & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Finalmente sob uma aproximação de valores inteiros e usando isto solucionador online para o sistema de equações a resposta é $ x = 4,0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $ que dividido por $ 360 ^ {o} $ dá a você aproximadamente $$ 1,1218 \ vezes 10 ^ {24} \ quad \ text { anos} $$

Editar 1

Acabei de encontrar este site que você pode gostar de brincar. É um aplicativo flash interativo com a posição precisa dos planetas.

Também sei que todas as informações podem ser obtidas nesta página da NASA e isso é o mais preciso que você pode obter, mas é incompreensível para mim agora. Tentarei revisá-lo mais tarde, quando tiver tempo.

Além disso, este livro de Jean Meeus chamado Astronomical Algorithms cobre todas as equações e fórmulas fundamentais – mas não tem nada a ver com algoritmos de programação.

Editar 2

Ver que você é um programador, pode valer a pena conferir o site da NASA que mencionei acima, os dados de todos os planetas podem ser acessados via $ \ tt {telnet} $.Ou este site do Sourceforge onde eles têm implementações para muitas das equações descritas no livro também mencionado acima.

Comentários

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funciona da mesma forma em comentários. Eu acho que sua abordagem é o melhor que você pode fazer sem simulações excessivas. Tudo que você precisa fazer é inserir os dados reais; essa tem sido a parte que me fez hesitar em dar uma resposta.
• @Gerald oh, pensei que a marcação de equações não ‘ funcionava nos comentários. Sim, eu ‘ estou perdendo os dados, principalmente $ \ theta_i $. Adicionarei as diferentes informações de $ l_i $.
• Como esse solarsystemscope poderia mostrar as posições relativas precisas dos planetas, quando suas distâncias do Sol não estão corretas? Ele pode mostrar a posição de cada planeta em relação ao Sol corretamente de forma isolada e, portanto, ser bom para esta pergunta, mas não para encontrar conjunções.
• @LocalFluff Isso é verdade. Isso só fornece resposta para configurações de alinhamento radial . Editado.
• Existem vários erros nesta resposta. Primeiro, usando todos os dígitos em suas tabelas (o que implica a conversão para centidgrees e centidays), eu realmente recebo $ x \ approx1,698 \ times10 ^ {42} $ (da mesma ferramenta online), o que equivale a $ 1,29 \ times10 ^ {33 } $ yr. Não ‘ não sei como você obteve o valor mais baixo, mas suspeito fortemente que você omitiu alguns dígitos. Em segundo lugar, isso mostra que ao adicionar mais dígitos a solução tende ao infinito: a resposta correta é: o alinhamento radial nunca ocorre . Finalmente, presumir que as órbitas ‘ dos planetas estão seguindo esse movimento simples é errado .

A resposta correta é “ nunca “, para vários razões. Primeiro , como apontado no comentário de Florin, as órbitas do planeta não são coplanares e, portanto, não podem ser alinhadas , mesmo que cada planeta pudesse ser colocado arbitrariamente em seu plano orbital. Segundo , mesmo o alinhamento radial puro nunca acontece porque os períodos do planeta são incomensuráveis – seus as proporções não são números racionais. Finalmente , as órbitas dos planetas “evoluem em escalas de tempo de milhões de anos, principalmente devido à sua gravidade mútua puxar. Esta evolução é (fracamente) caótica e, portanto, imprevisível por muito tempo.

A resposta errada de harogaston essencialmente se aproxima dos períodos orbitais de os números comensuráveis mais próximos, resultando em um tempo muito longo (embora ele tenha entendido errado por um fator de apenas $ 10 ^ {16} $).

Uma pergunta muito mais interessante (e talvez aquela em que você realmente estivesse interessado ) é a frequência com que os 8 planetas se alinham quase radialmente . Aqui, “ quase ” poderia significar simplesmente “ até $ 10 ^ \ circ $ visto do Sol “. Nessa ocasião, a atração gravitacional mútua dos planetas se alinhará e, portanto, resultará em mudanças orbitais mais fortes do que a média.

Qualquer estimativa do período comum de mais de dois planetas (ou seja, depois de quanto tempo eles se alinham aproximadamente em longitude heliocêntrica novamente?) depende fortemente de quanto desvio do alinhamento perfeito é aceitável.

Se o período do planeta $ i $ for $ P_i $, e se o desvio aceitável no tempo for $ b $ (nas mesmas unidades que $ P_i $), então o período combinado $ P $ de todos os planetas $ n $ são aproximadamente $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, portanto, reduzir o desvio aceitável por um fator de 10 significa aumentar o período comum por um fator de $ 10 ^ {n-1} $, que para 8 planetas é um fator de 10.000.000. Portanto, não faz sentido citar um período comum se você não especificar também quanto desvio era aceitável. Quando o desvio aceitável diminui para 0 (para atingir o “alinhamento perfeito”), o período comum aumenta para o infinito. Isso corresponde a vários comentaristas “afirmam que não há um período comum porque os períodos não são proporcionais.

Para os” períodos dos planetas listados por harogaston, $ \ prod_i P_i \ aproximadamente 1,35 \ times10 ^ 6 $ quando o $ P_i $ são medidos em anos julianos de 365,25 dias cada, então o período comum em anos é de aproximadamente $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ se $ b $ também é medido em anos. Se os períodos forem aproximados do dia mais próximo, então $ b \ aproximadamente 0,00274 $ anos e $ P \ aproximadamente 1,2 \ vezes10 ^ {24} $ anos. Se os períodos forem aproximados ao dia 0,01 mais próximo, então $ b \ aproximadamente 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ e $ P \ approx 1,2 \ times10 ^ {38} $ anos.

A derivação da fórmula acima é a seguinte:

Aproximar os “períodos dos planetas por múltiplos de uma unidade base $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ onde $ p_i $ é um número inteiro. Então, o período comum é no máximo igual ao produto de todos os $ p_i $. Esse produto ainda é medido em unidades de $ b $; devemos multiplicar por $ b $ para voltar às unidades originais. , o período comum é de aproximadamente $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

A derivação acima não leva em consideração que $ p_i $ pode ter fatores comuns, de modo que o alinhamento ocorre mais cedo do que $ \ prod_i p_i $ sugere. No entanto, se dois $ p_i $ têm ou não fatores comuns depende fortemente do período base escolhido $ b $, então é efetivamente uma variável aleatória e não afeta a dependência global de $ P $ em $ b $.

Se você expressar o desvio aceitável em termos de ângulo em vez de tempo , então espero que você obtenha respostas que dependem do tamanho do desvio aceitável como fortemente como para a fórmula acima.

Consulte http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html para um gráfico de $ P $ como uma função de $ b $ para todos os planetas, incluindo Plutão.

EDITAR:

Aqui está uma estimativa com desvio aceitável em termos de ângulo . Queremos que todos os planetas estejam dentro de uma faixa de longitude de largura $ δ $ centrada na longitude do primeiro planeta; a longitude de o primeiro planeta é gratuito. Assumimos que todos os planetas se movem na mesma direção em órbitas circulares coplanares ao redor do Sol.

Porque os planetas ” os períodos não são proporcionais, todas as combinações de longitudes dos planetas ocorrem com a mesma probabilidade. A probabilidade $ q_i $ de que em algum momento específico do tempo a longitude do planeta $ i > 1 $ esteja dentro do segmento de largura $ δ $ centrado na longitude do planeta 1 é igual a $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

A probabilidade $ q $ de que os planetas 2 a $ n $ estejam todos dentro do mesmo segmento de longitude centrado no planeta 1 é então $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Para traduzir essa probabilidade para um período médio, precisamos estimar por quanto tempo todos os planetas estão alinhados (dentro de $ δ $) cada vez que estão todos alinhados.

Os primeiros dois planetas a perderem seu alinhamento mútuo são os mais rápidos e os mais lentos dos planetas. Se seu período sinódico for $ P _ * $, então eles “estarão alinhados por um intervalo $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ e, em seguida, desalinhados por algum tempo antes de se alinharem novamente . Assim, cada alinhamento de todos os planetas dura cerca de um intervalo $ A $, e todos esses alinhamentos juntos cobrem uma fração $ q $ de todos os tempos. Se o período médio após o qual ocorre outro alinhamento de todos os planetas for $ P $, então devemos ter $ qP = A $, então $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Se houver apenas dois planetas, então $ P = P _ * $ independentemente de $ δ $, o que é o esperado.

Se houver muitos planetas, então o planeta mais rápido é muito mais rápido do que o mais lento, então $ P _ * $ é quase igual ao período orbital do planeta mais rápido.

Aqui, também, a estimativa para o tempo médio entre alinhamentos sucessivos é muito sensível ao limite de desvio escolhido (se houver mais de dois planetas envolvidos), por isso não faz sentido citar tal período combinado se você não mencionar também qual desvio foi permitido.

Também é importante lembrar que (se houver mais de dois planetas) esses (quase) alinhamentos de todos eles não ocorrem de forma regular intervalos.

Agora vamos inserir alguns números. Se você deseja que todos os 8 planetas estejam alinhados a 1 grau de longitude, o tempo médio entre dois desses alinhamentos é aproximadamente igual a $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ órbitas do planeta mais rápido. Para o Sistema Solar, Mercúrio é o planeta mais rápido, com um período de cerca de 0,241 anos, então o tempo médio entre dois alinhamentos de todos os 8 planetas dentro de 1 grau de longitude é cerca de $ 5 × 10 ^ {14} $ anos.

Se você já está satisfeito com um alinhamento dentro de 10 graus de longitude, então o período médio entre dois desses alinhamentos é aproximadamente igual a $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ órbitas de Mercúrio, que é cerca de 500 milhões de anos.

Qual é o melhor alinhamento que podemos esperar durante os próximos 1000 anos? 1000 anos são cerca de 4150 órbitas de Mercúrio, então $ (360 ° / δ) ^ 6 \ approx 4150 $, então $ δ \ approx 90 ° $. Em um intervalo de 1000 anos escolhidos aleatoriamente, há em média um alinhamento de todos os 8 planetas em um segmento de 90 °.

Tecnicamente, a verdadeira maneira de encontrar o período entre o alinhamento de todos os 8 planetas é encontrar o LCM de todos os 8 anos.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Entendo que esta é uma estimativa grosseira, pois são arredondados para o inteiro mais próximo, mas dá uma boa ideia do número de dias que levaria.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. É quantos anos.

Comentários

• Este parece ser o mesmo método descrito em Caters ‘ s resposta r .