Quanto tempo leva para um copo dágua evaporar?
Para responder a esta pergunta, vou assumir alguns parâmetros básicos, e que a água é soprada por um ventilador, para chegar a uma estimativa:
- Volume de água: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Superfície superior da água: $ A_ \ mathrm s = 0,05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Temperatura ambiente: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Temperatura da água: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Umidade relativa da água no ar ambiente: $ 50 \ \% $
- Coeficiente de convecção de transferência de calor de um ventilador / vento: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Let “s suponha que a água está em equilíbrio térmico com a sala circundante (um grande reservatório de calor), então não há convecção flutuante.
Eu começo com o fluxo de massa evaporativo dado por
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
e $ h_m $ é o coeficiente de transferência de massa, que é encontrado a partir da analogia de transferência de calor e massa:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
onde $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ é o número de Lewis. Portanto, a taxa de fluxo de massa evaporativa é
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Podemos estimar a diferença de densidade usando a umidade relativa do ar em ~ $ 50 \ \% $ para uma sala normal:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8,315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
O número de Lewis é calculado a partir da difusividade térmica do ar $ \ alpha = 2,2 \ times 10 ^ {- 5} $ e o coeficiente de difusão binário $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ para difusão de vapor de água através do ar é dado por uma correlação experimental (com $ p $ em $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ vezes 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2,072}} {p} = 1,87 \ vezes 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2,5 \ vezes 10 ^ {- 5} $$
O número de Lewis é, portanto, $ Le = \ frac {2,2} {2,5} = 0,88 $ . A taxa de fluxo de massa da superfície é
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ vezes 0,012} {1,2 \ vezes 1000 \ vezes 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ vezes 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Agora, eu suponho que este fluxo de massa permanece constante com o tempo, uma vez que a água está em quase equilíbrio térmico com o ambiente (um grande reservatório de temperatura) e, portanto, permanece em temperatura constante, não alterando as propriedades da água.
Conservação de massa na produção de água
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integrando, descobrimos que a taxa de tempo de mudança em massa é linear:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
Para evaporar totalmente, $ m (t) = 0 $ e
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1,2 \ times 0,2} {5,5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1,2 \ \ mathrm h $$
A água leva 1,2 horas para evaporar totalmente.
1 hora para a evaporação parece muito rápido, mas usei um grande coeficiente de convecção desde o início. Alguns pensamentos / perguntas:
- E se não houvesse convecção forçada de um ventilador? Não temos convecção natural flutuante ou radiação, pois a água está em equilíbrio térmico com o ambiente. Qual é a natureza da evaporação neste caso e como podemos calcular a perda de massa?
- Presumi que o a perda de massa por evaporação é constante ao longo do tempo, pois a água está em equilíbrio térmico com o ambiente (um grande reservatório) e não muda de temperatura. Essa é uma boa suposição?
Comentários
- Eu não ' t verifiquei sua aritmética, mas sua abordagem está correta. Quanto à pergunta, se não houver absolutamente nenhuma convecção, então, como no pior dos casos, você teria um problema de difusão direta.Isso significaria que você teria acúmulo de concentração no ar ao redor da superfície do copo, e a extensão dessa região aumentaria com o tempo, com 100% de umidade na superfície e 50% de umidade longe da superfície.
- @ChetMiller Então isso seria como um problema de difusão de massa semi-infinita, com equações governantes semelhantes e soluções para o problema de transferência de calor semi-infinito? O fluxo de massa seria então dependente do tempo, correto?
- Na prática, acho que tentar calcular com precisão a taxa de evaporação é muito difícil. Geralmente, há uma camada fina e estagnada de ar logo acima da superfície da água que tem uma umidade relativa muito mais alta do que a UR da sala, e essa camada fina é um importante fator limitante da taxa de evaporação. Não ' não pense que ' é uma questão fácil calcular com precisão a UR ou espessura da camada, ou como esses dois parâmetros podem mudar em função da quantidade de fluxo de ar sobre a superfície. A taxa de evaporação também pode ser sensível a óleo minúsculo ou outras películas na superfície.
- Claro. Provavelmente precisaria ser resolvido numericamente, a menos que você estivesse disposto a aproximar a superfície da água como uma pequena área circular embutida em um plano infinito abaixo do meio-espaço semi-infinito. Eu ' tenho certeza de que Carslaw e Jaeger têm a solução para esse problema de transferência de calor análogo.
- @SamuelWeir Drew ' A solução s leva em consideração a camada limite de concentração acima da superfície. Seu coeficiente de transferência de massa é igual ao coeficiente de difusão dividido pela espessura da camada limite.