Regra geral da ordem do filtro

Meu favorito " Regra de ouro " para a ordem de um filtro FIR passa-baixo é o " regra de ouro de Fred Harris ":

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

onde

• $ \ Delta f $ é a banda de transição, nas mesmas unidades de $ f_s $
• $ f_s $ é a taxa de amostragem do filtro
• $ \ rm atten_ {dB} $ é a rejeição alvo em dB

Por exemplo, se você tem uma banda de transição de 100 Hz em um sistema amostrado em 1 kHz e seu requisito de rejeição é de 50 dB na banda de parada, então o a ordem pode ser aproximada por:

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ \ rm taps \ tag {arredondamento} $$

Obrigado Fred Harris!

Observe outra fórmula mais detalhada que leva em consideração a banda passante ondulação é a fórmula de Kaiser graças a James Kaiser da Bell Labs, que incluí em meu gráfico abaixo.

Para a maioria das aplicações que fiz, a abordagem de Fred Harris funcionou perfeitamente, devido a uma certa rejeição , os filtros resultantes usando algoritmos de design de filtro tradicionais, como Parks-McClellan e Remez, excederam meus requisitos de ondulação de banda passante ao atender ao requisito de rejeição. (O que geralmente faço é estimar a ordem, projetar o filtro com essa ordem, inspecionar o resultado e aumentar ou diminuir a ordem a partir daí para o ajuste fino). Os resultados das estimativas são apenas isso: estimativas, e podem variar amplamente dependendo dos parâmetros gerais do projeto e não devem ser considerados uma solução exata.

Para aqueles familiarizados com o design de filtros usando abordagens de janela, revise o vagão ou janela retangular (que é um truncamento simples) revela porque são necessários $ f_s / \ Delta f $ toques (que é o mesmo que $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ se as unidades de frequência normalizada forem radianos / amostra, como geralmente é feito) para completar a banda de transição. Veja as imagens abaixo que ajudam a explicar isso.

A imagem superior abaixo mostra o Sinc esperado na frequência para uma janela retangular no tempo, neste caso como um pulso retangular não causal centrado em $ t = 0 $ . Isso é então repetido em formas discretas como uma forma de onda causal começando em $ t = 0 $ , ambas com a Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a Transformada de Fourier discreta (DFT) onde a diferença é a extensão das amostras no tempo para $ \ pm \ infty $ para o DTFT resultando em uma forma de onda contínua no domínio da frequência. Em ambos os casos, o resultado é uma função Sinc com alias que é periódica ao longo do intervalo $ f = [0, f_s) $ , com o ponto-chave que para $ N $ amostras no tempo da função retangular, a resposta de frequência terá seu primeiro nulo em $ f = 1 / N $ (Onde $ f $ é a frequência normalizada com 1 sendo a taxa de amostragem).

A próxima imagem abaixo mostra a abordagem da janela retangular para o design do filtro (que eu nunca recomendaria, mas é informativa). O primeiro gráfico no canto superior esquerdo mostra a resposta de frequência desejada para nosso filtro como uma resposta " parede de tijolos " ideal. Não confunda isso com a " janela do boxcar " (ou " janela retangular ") que também é uma forma retangular – a janela está no domínio do tempo!

Para realizar esse filtro, usaríamos a resposta ao impulso da resposta de frequência desejada como os coeficientes em nosso filtro FIR (os coeficientes do filtro são a resposta ao impulso — coloque um impulso em e saem todos os coeficientes!). A resposta de impulso para uma resposta de frequência retangular (parede de tijolos) é o FT inverso que é uma função Sinc, no domínio do tempo, mostrada no canto inferior esquerdo como a " Resposta ao Impulso Requerido ". Uma função Sinc se estende para mais e menos infinito, então, para realmente realizar esse filtro, precisaríamos de um filtro infinitamente longo e ele teria um atraso infinitamente longo. Obviamente, não podemos fazer isso, então truncamos os coeficientes para algo realizável. Quanto mais longo o filtro, mais nos aproximamos da resposta de parede de tijolos ideal, mas também mais longo será o atraso (e de mais recursos precisaremos em termos de a construção do filtro; mais toques).

Truncar a resposta ao impulso no domínio do tempo é matematicamente idêntico a multiplicar por uma janela retangular no domínio do tempo. (Observe que a resposta ao impulso também é atrasada pela metade da duração da janela para que o sistema seja causal). Multiplicar no domínio do tempo é equivalente à convolução no domínio da frequência. O domínio da frequência (FT) da resposta ao impulso antes do truncamento é nossa resposta de frequência original desejada. A frequência resposta para a janela retangular é uma função Sinc no domínio da frequência.

Então, quando truncarmos a resposta de impulso desejada (multiplicar no tempo por uma janela retangular), nós convolvemos a resposta de frequência desejada e com uma função Sinc, resultando em uma aproximação de nossa resposta de frequência alvo, conforme mostrado no canto superior direito da imagem abaixo.

Uma lição importante para funções Sinc em geral é que o primeiro nulo é $ 1 / T $ onde $ T $ é a duração da função retangular. Para um sistema de amostra, o primeiro nulo seria $ 2 \ pi / N $ onde $ N $ representa o número de amostras para a duração da função retangular. Nas imagens, uma frequência em radianos normalizada é usada para o eixo de frequência (se isso confundir, você apenas sabe que $ 2 \ pi $ é a frequência em radianos para a taxa de amostragem). Portanto, no processo de convolução, a transição acentuada da parede de tijolos se espalha e, neste caso, vai para 0 (nosso $ \ Delta \ omega $ ) em uma frequência de $ 2 \ pi / N $ ! Então, aqui $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ e, claro, o filtro é pobre com lóbulos laterais etc. Observe isto: esta transição da função Sinc é a mais nítida disponível para um determinado número de toques; ele tem a melhor resolução em frequência, mas a faixa dinâmica mais pobre (rejeição). Outras tipologias de janela (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (meu favorito), etc) irão melhorar significativamente a faixa dinâmica, mas sempre às custas da transição.

Portanto, do acima, vemos a origem do $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ que é usado nas fórmulas de aproximação, e também vemos porque há um fator de multiplicação adicional aumentando o número de torneiras acima desse para designs de filtro típicos; a janela retangular nos daria a melhor transição possível com $ N $ toques onde $ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $ mas tem uma rejeição muito fraca. Mais toques são usados para suavizar a transição de tempo além da transição nítida da janela retangular, proporcionando maior rejeição às custas da largura de banda de transição.

Comentários

• Apenas para evitar confusão, a fórmula que você chama de " Kaiser ' fórmula " é na verdade a fórmula para os filtros ideais de Parks McClellan (de fato, encontrados por Kaiser), mas não para o método de janela Kaiser. Este último não ' não tem dois valores $ \ delta $ diferentes, mas apenas um.
• De fato, um bom esclarecimento Matt, pois existe um método de janela Kaiser. Esta fórmula é, no entanto, referida e conhecida como " Kaiser ' Fórmula " no literatura, para que os leitores não ' pensem que foi meu próprio uso desse termo. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/…
• Incrível!Parece que veio da página 48 do livro de Fred Harris ': " Processamento de sinal multirrate para sistemas de comunicação "?
• A regra ou as imagens? As fotos são minhas para uma aula que faço. Não ' t tenho o livro do ', mas sou um grande fã e conheci seu " regra de ouro " por ele em uma apresentação do DSP World que ele fez por volta de 1996. (Observe que ele insiste que seu nome seja escrito em letras minúsculas).
• @DanBoschen A fórmula para Parks McClellan também é válida ao projetar filtros FIR de passagem de banda? Caso contrário, existe outra " regra de ouro " que poderia ser aplicada?

O comprimento de um filtro FIR ou a ordem de um filtro IIR é quase inversamente proporcional à proporção da largura da banda de transição (a mais estreita , se muitos) para a taxa de amostragem, outras coisas sendo um pouco equivalentes, exceto para filtros de ordem muito curta ou muito baixa.

Comentários

• não sei por quê alguém votou negativamente. Fixei de volta a zero.
• outras coisas são equivalentes?
• A ondulação da banda passante e a atenuação da banda de parada também são os outros fatores principais que afetam o comprimento do filtro.