Significado do espaço Fock

Suponha que você tenha um sistema descrito por um espaço de Hilbert $ H $ , por exemplo, uma única partícula. O espaço de Hilbert de duas partículas não interagentes do mesmo tipo que o descrito por $ H $ é simplesmente o produto tensorial

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Mais geralmente, para um sistema de $ N $ partículas como acima, o espaço de Hilbert é

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

com $ H ^ 0 $ definido como $ \ mathbb C $ (ou seja o campo subjacente $ H $ ).

No QFT, existem operadores que entrelaçam os diferentes $ H ^ N $ s, ou seja, cria e aniquila partículas. Exemplos típicos são os operadores de criação e aniquilação $ a ^ * $ e $ a $ . Em vez de defini-los em termos de sua ação em cada par de $ H ^ N $ e $ H ^ M $ , é permitido fornecer uma definição " abrangente " no espaço de Hilbert maior definido pela soma direta de todos os multi espaços de partícula, viz.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

conhecido como o espaço Fock Hilbert de $ H $ e às vezes também denominado $ e ^ H $ .

Do ponto de vista físico, a definição geral acima de espaço Fock é irrelevante. Partículas idênticas são conhecidas por observar uma (para) estatística definida que irá reduzir o espaço de Hilbert real (por simetrização / antissimetrização para o caso bosônico / fermiônico etc …).

Comentários

• Excelente resposta! Gostaria que eles escrevessem os livros QFT assim.

Ótimas respostas, mas talvez seja só para completar será ilustrativo para ter um exemplo.

Suponha que seu $ H ^ 1 $ contenha alguns estados de partícula única $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, etc. O espaço Fock remove a limitação em ser uma única partícula e é composta de $ H ^ 0 $ (que é unidimensional), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. permite estados como

• o estado de vácuo, vamos chamá-lo de ket vazio $ | \ rangle $,
• todos os estados de partícula única, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• todos os estados de duas partículas, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB que esta construção os considera distinguíveis),

mas o mais importante

• qualquer sobreposição do acima , como $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.

Este espaço é inerentemente infinito dimensional, mesmo se você começar com algo pequeno como um qubit. Se você quiser imaginar o resultado com a ajuda de uma base, simplesmente concatene as listas dos estados de base de todos os componentes:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

No Na configuração mais trivial, a partícula única realmente não tem nenhum estado distinto, então $ H ^ 1 $ é unidimensional. Ainda faz sentido escolher um estado fiducial $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ e construir o espaço Fock com base

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

um exemplo de um estado pode ser, digamos, um estado coerente

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

e você tem um bom exemplo de por que as pessoas podem falar de excitações como “fônons” em um oscilador harmônico, embora haja apenas uma única partícula oscilando!

Sim, é verdade. Você constrói um espaço de Hilbert “grande” a partir dos “pequenos”, se quiser.