Ao derivar o campo magnético devido a um fio condutor de corrente, se escolhemos um loop circular Amperiano, podemos afirmar:
$$ \ oint \ vec B \ \ cdot d \ vec s = \ mu_0 \ I $$
Mas devido ao simetria do loop Amperiano e o fato de que o caminho é percorrido no sentido anti-horário, podemos afirmar:
$$ \ oint B \ ds = \ mu_0 \ I $$
$$ B \ oint ds = \ mu_0 \ I $$
No entanto, não é óbvio para mim que o campo magnético seja paralelo a $ d \ vec s $ em todas as somas contínuas. Se $ d \ vec s $ apontar infinitesimalmente ao longo do loop amperiano em cada incremento, isso significa que o campo magnético em cada ponto terá que estar apontando exatamente na mesma direção.
Eu sei que o campo magnético ao redor de um fio se enrola em torno dele, então ter um loop Amperiano circular pode conseguir isso, mas:
Digamos que desenhamos um loop Amperiano de um raio arbitrário. Como sabemos que isso se alinhará com um loop de campo magnético do fio condutor de corrente de modo que $ d \ vec B $ e $ d \ vec S $ ainda sejam paralelos?
Talvez isso seja possível, mas posso ou não entender por quê. Se for o motivo, ilustrarei o motivo com um gráfico (mal) desenhado que acabei de fazer:
Onde os círculos vermelhos são linhas de força de campo magnético constante e o círculo preto é o loop amperiano. Conforme o loop é percorrido, com cada elemento de caminho $ d \ vec S $, localizado em algum valor $ \ theta $ ao redor do loop, os vetores de campo magnético de todos os anéis de intensidade do campo magnético serão paralelos a eles, pois o loop Amperiano é um círculo. Isso explicaria a necessidade de um loop Amperiano alinhado dessa maneira para funcionar.
Se esse não for o caso, esclareça o que é. Se isso fizer algum sentido , algumas perguntas:
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O que acontece se não usarmos um loop circular Amperiano? Podemos encontrar com precisão o campo magnético? Pareceria estranho se tivéssemos que escolher a forma de loop correta
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Como sei que $ d \ vec B $ em meu gráfico não está ” não será antiparalelo a $ d \ vec S $ em todos os pontos, ao invés de paralelo?
Resposta
O que “é legal sobre a Lei de Ampère” é que não importa qual é a forma do loop: ele permanecerá verdadeiro mesmo se você escolher um formato engraçado loop (ou se o seu campo magnético for mais complicado). Isso pode tornar a integração impossivelmente difícil para você realmente fazer, mas não muda o fato de que a lei declarada é correta para qualquer loop que você possa desenhar. A simplificação que você fez foi possível porque você explorou a simetria naquela configuração específica . Na maioria das situações realistas, nenhuma simplificação exatamente correta pode ser feita. Uma aproximação ou uma abordagem diferente pode ser necessária.
Se o campo magnético se opõe ao sentido em que você atravessa o loop, a integral dará um resultado negativo. Isso indica que a corrente é negativa (fluindo na direção oposta).
Comentários
- A questão aqui é sobre como recuperar o magnético campo, o que você não pode fazer com um loop de formato engraçado no qual a corrente não é constante.
Resposta
Para um fio infinito, sabemos que o campo magnético é circunferencial em todos os lugares. Outra maneira de ver isso é vê-lo como r simetria otacional sobre a circunferência do fio. A partir disso, sabemos que o campo só muda com a mudança da distância do fio e nós independentemente da posição angular em torno do loop.
Devido a isso, é conveniente escolher um loop circular Amperiano porque o campo é constante em cada ponto, então podemos puxar B para fora da integral no LHS.
Agora, a lei de Amper é sempre verdadeira, independentemente da forma do loop que você escolher. Mas se o campo variar em torno do loop, então devemos avaliar a integral de linha, o que significa que não podemos usá-la facilmente como uma ferramenta para encontrar B.
Como a lei de Gauss, é uma ferramenta muito poderosa, mas útil apenas para encontrar o campo facilmente se tivermos algum tipo de simetria.