Alguém sabe o que seria $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, onde $ t ^ a $ etc são matrizes de Gell-Mann? Isso aconteceu ao analisar o fator de cor para o efeito de compton para QCD. Portanto, deve ser bastante comum, mas não consegui encontrar uma referência adequada. Em geral, há alguma referência para traço de número arbitrário de matrizes de Gell Mann?
Resposta
Eu considero SU (N) geradores na representação fundamental normalizados de modo que $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
O comutador de dois geradores define as constantes de estrutura $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
O anticomutador de dois geradores é
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
onde por $ 1 $ quero dizer a matriz de identidade e $ d ^ {abc} $ são o “símbolo d” definido como
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Então, há uma identidade útil
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Sugiro esta referência http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf onde diferentes identidades de rastreamento são coletadas. Para o seu caso, veja a Equação 75 no Apêndice B, página 9.
Verifique a normalização dos geradores antes de usar esta identidade.
Comentários
- Via de regra, apenas respostas de links são ativamente desencorajadas, porque se o link ficar inativo, a resposta será inútil. Use o Mathjax para editar as equações apropriadas para que a resposta seja independente.
- @Angela se isso responder à sua pergunta, você deve marcá-la como respondida.