Unidades na constante gravitacional

Bem, a propósito para encontrar as unidades da constante, devemos considerar a equação da qual ela participa:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ é uma força: portanto, é medido em newtons ($ \ operatorname {N} $). Um newton é a força necessária para dar a um quilograma uma aceleração de um metro por segundo por segundo: então, em unidades do SI, suas unidades são $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ e $ m_2 $ são massas: em unidades SI são medidos em quilogramas, $ \ operatorname {kg} $ e $ r $ é um comprimento: é medido em metros, $ \ operatorname {m} $.

Então, novamente em unidades SI, podemos reescrever o acima como algo como

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

onde $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ e $ \ rho $ são números puros (eles são os valores numéricos das várias quantidades em unidades SI). Portanto, precisamos obter as dimensões disso para fazer sentido, e apenas fazendo isso “fica imediatamente aparente que

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

onde $ \ gamma $ é um número puro e é o valor numérico de $ G $ em unidades SI.

Alternativamente, se colocarmos newtons de volta no LHS obtemos

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Para responder, precisamos dar uma olhada na equação $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Então, se G é medido em $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, e a massa é medida em kg e a distância é medida em m, então a força é medida com $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, que simplifica para $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

E agora para definir $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ seus instintos podem ser dividi-lo em $ \ rm m / s ^ 2 $ e kg. Se $ \ rm m / s ^ 2 $ é uma unidade de aceleração e kg é uma unidade de massa, então a força deve ser massa vezes aceleração. Isso é descrito por Sir Issac Newton PRS “a segunda lei do movimento descreve:

$ F = ma $

Portanto, faz sentido que a constante gravitacional G seja medida em $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Comentários

• Não tenho certeza de que ” PRS ” é necessário para descrever Newton

É um problema.

Constantes aludem a números puros, então de fato é engraçado que uma constante tenha unidades de medida.

É um problema adequado. Você descobre ou adivinha que algo depende de outra coisa, proporcionalmente como quando x vai de 3 para 4, y vai de 6 para 8, (então y = 2 * x onde 2 é uma constante) ou inversamente proporcional (y = x / 2), então, quando você estiver satisfeito por ter encontrado tudo o que pode afetar esse algo, você praticamente tem sua equação, como y = a x ^ 2 + bx + c o quadrático simples em uma dimensão ou algo como w = x y.

A última etapa é adicionar constantes para que os números e os resultados correspondam.

No entanto, se pelos seus princípios de unidades de medida as unidades não combinarem, você tem um problema. Você se sacrificará por isso se sua constante se mantiver, embora tenha unidades, mas talvez esteja ciente de que há mais na equação do que esta simplificação ou, claro, que sua ideia original de unidades de medida tem uma falha. É mais uma bagunça para redefina seus primeiros princípios, ou seja, a velocidade não é metro / segundos, então vamos deixar isso de fora por enquanto.

A equação gravitacional nesta forma também é muito semelhante à lei de Coulombs, muito semelhante na verdade, ambas são principalmente guias dizer que a força é proporcional às massas dos objetos e inversamente proporcional ao quadrado de sua distância (no caso da gravidade)

Você obtém quadrados perfeitos com a força gravitacional, isto é (kg / m) 2 então se tudo for ao quadrado, então você pode se perguntar o que é kg / m.

Por exemplo: Quadrados aparecem quando você é adicionado ng coisas por meio da integração, integrais outro conceito matemático fino que, no entanto, pelo menos graficamente, é uma aproximação.

Então dizemos se y = x ^ 2 então dy / dx = 2x e integração sendo o reverso da diferenciação , usando a notação “Integral de x” como I (x), então I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (sempre adicionamos uma constante na integração para a parte ausente.

Então, talvez a força (gravitacional) seja f = I (algo) de modo que acaba ao quadrado.

A força é um animal engraçado. Você tem coisas como impulsos, como você tem coisas como energia, trabalho e potência, todos esses conceitos da física, conectados. Por exemplo iirc work = power * time mas isso é apenas bom senso falando, então vou parar por aqui.

Adicionado:

Para começar a pensar sobre kg / m e o que é isso, uma coisa que me veio à mente, esses dois estão conectados quando algo viaja uma distância, como a distância depende na missa? Bem, certamente quando você tem atrito, a massa importa. Você também pode pensar em densidade, que é massa / volume.

Então, F ~ volume ^ 2 e talvez F = volume algo, que o traz de volta a kg m / s ^ 2. algo que no local perceptível é estável, constante. Lembre-se de que se F = I (x) e tem m / s ^ 2 nele, há uma relação integral entre velocidade e aceleração (s = v t + a t / 2) onde s é distância, v é a velocidade, a é a aceleração e t tempo. Tenha em mente que a integração também é subjetiva, você integra sobre algo, então se w = x y e ambos xey são variáveis, você pode integrar w sobre xe pode integrar w sobre y. Estes são / (podem ser) aditivos, desde que sejam independentes coz se y = f (x) você pode ir para a variável única w = x f (x) => w = g (x)

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$ G $ é uma constante experimental necessária para corresponder à energia potencial de Newton a ser experimentada. A energia potencial de Newton é $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Dividindo pela energia $ mc ^ 2 $ você obtém o adimensional potencial $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Como $ V $ não tem dimensão, $ GM / c ^ 2 $ é um comprimento. Este comprimento é interpretado como a metade do raio de um buraco negro com massa M, $ r_M / 2 $ . G tem dimensão $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Portanto, você também pode escrever o potencial adimensional como $$ V = r_M / 2r $$ onde a única constante é um comprimento com uma interpretação clara, embora exótica.

A interpretação mais direta – aquela que transcende a divisão paradigmática entre Física Relativística e Não Relativística e está conectada à Equação de Raychaudhuri, é isso em termos de contração de volume.

Uma nuvem em torno de um corpo de massa $ M $ , cujos constituintes estão todos em movimento radial, tem um volume que em função do tempo $ V (t) $ satisfaz a equação $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Se inicialmente estacionário, então a aceleração inicial do volume, sob o força da gravidade, é $ – 4πGM $ , o negativo indicando que está começando a se contrair.

Assim, as unidades de $ GM $ são metros cúbicos por segundo, por segundo.

A generalização disso para uma classe $ n + 1 $ o espaço-tempo dimensional é $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ usando a convenção $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , onde $ G_n $ é o $ n $ – versão dimensional do coeficiente de Newton; cujas unidades seriam metroⁿ / (segundo² quilograma).