Valor esperado da distribuição gama

Supondo que você esteja considerando a variável aleatória da distribuição Gama com forma $ \ alpha > 0 $ e taxa $ \ beta > 0 $ parâmetros, que é $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, você pode encontrar $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ da seguinte maneira:

Para qualquer variável aleatória X de distribuição contínua (como Gamma) para a qual $ f $ denota sua função de densidade de probabilidade (no seu exemplo $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) e para qualquer função $ g $ desta variável (no seu caso $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), ele contém: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

No seu exemplo, ele simplifica muito (preste atenção em $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ A fração não depende de $ x $ , portanto, pode ser colocado fora de uma integral.

A propósito, para distribuição discreta é muito semelhante: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {onde} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {denota suporte para X (conjunto de valores que pode assumir)} $$

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Não vou mantê-lo em suspense por mais tempo. Em primeiro lugar, lembre-se de que $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Seja $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Combinando esses dois resultados em uma observação direta: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Consecutivamente: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Usando isto duas vezes, você obterá o resultado :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Em última análise (como $ f _ {\ alpha-2} (x) $ também é PDF cuja integral é igual a $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Esta solução acima é para este caso específico, mas conforme whuber apontado , o caso mais geral para qualquer $ p \ in \ mathbb {R} real e positivo, ~ p > 0 $ contém: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Comentários

• @TJ Phu Deixe-nos saber o que você realmente tem problema, talvez com o cálculo desta integral? De qualquer forma, avise-nos. No entanto, tente seguir os comentários gung e Silverfish e melhorar o layout geral da pergunta.
• @TJ Phu Talvez minha primeira observação sobre fazer raw a integração era um pouco enganosa. Deixe-me saber se você entendeu completamente minha solução (simplesmente aceitando / marcando minha resposta ou qualquer outra).

Eu faria isso de maneira preguiçosa: começando com uma definição e olhando com atenção para o que se segue, a fim de veja se alguém já me mostrou a resposta. No que segue, nenhum cálculo é necessário, e apenas as regras mais simples (de expoentes e integrais) são necessárias para seguir a álgebra.

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Vamos começar com a distribuição Gama.Escolha uma unidade de medida de $ X $ em que $ \ beta = 1 $ , para que possamos Digamos que $ X $ tenha uma distribuição $ \ Gamma (\ alpha) $ . Isso significa que a densidade é positiva apenas para valores positivos, onde o elemento de densidade de probabilidade é dado por

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Se você estiver curioso, a expressão $ dx / x $ é explicada em https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Se você não gostar, substitua $ x ^ \ alpha dx / x $ por $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Lembre-se de que a constante de normalização existe para fazer a integral de $ f_ \ alpha (x) dx $ unidade, de onde podemos deduzir que

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Não importa o número $ \ Gamma (\ alpha) $ realmente é. Basta ver que é bem definido e finito, fornecido $ \ alpha \ gt 0 $ e, de outra forma, diverge.

Agora, vamos voltar às regras de expectativa. A ” lei do estatístico inconsciente ” diz a expectativa de qualquer função de $ X $ , como $ X ^ p $ para algum poder $ p $ (que geralmente é positivo, mas pode ser negativo e até complexo), é obtido integrando essa função de $ x $ com a densidade:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

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É hora de olhar fixamente. Ignorando a integral, o integrando é uma expressão bastante simples. Vamos reescrevê-lo usando as regras da álgebra e, no processo, mover o valor constante de $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ fora da integral:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Isso deve parecer terrivelmente familiar: it ” s exatamente como outra função de densidade de distribuição Gamma, mas com o poder $ p + \ alpha $ em vez de $ \ alpha $ . A equação $ (1) $ nos diz imediatamente , sem pensar ou calcular, que

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Conectando isto no lado direito de $ (2) $ rendimentos

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Parece que é melhor (a parte real de) $ p + \ alpha \ gt 0 $ para que isso convirja, conforme observado anteriormente.

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Como uma verificação dupla, podemos usar nossa fórmula para calcular os primeiros momentos e compará-los com, digamos, o que A Wikipedia diz . Para a média, obtemos

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

e pelo segundo momento (bruto),

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Consequentemente, a variação é $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Esses resultados concordam perfeitamente com a autoridade. Não há problemas de convergência porque desde $ \ alpha \ gt 0 $ , ambos $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ e $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

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Agora você pode conectar com segurança $ p = -2 $ e tire suas conclusões sobre a questão original. Lembre-se de verificar as condições em que a resposta existe.E não se esqueça de mudar as unidades de $ X $ de volta para as originais: isso multiplicará sua resposta por $ \ beta ^ p $ (ou $ \ beta ^ {- p} $ , dependendo se você acha $ \ beta $ é uma escala ou uma taxa ).