Variante do quebra-cabeça Sapos saltitantes

Há um quebra-cabeça antigo que tem vários nomes como Sapos e Sapos, Sapos Saltos, Sapos Saltos, Sapos Saltos, etc., e que foi perguntado aqui antes . Gostaria de compartilhar uma variante desse quebra-cabeça que descobri e que não vi em nenhum outro lugar.

Há uma linha reta de 9 quadrados (ou nenúfares, se preferir), cada um grande o suficiente para conter no máximo um sapo. O quadrado do meio está vazio e há 8 sapos nos outros quadrados. As quatro rãs que começam à esquerda só podem se mover para a direita, e as que começam à direita só podem se mover para a esquerda. O objetivo é que os dois conjuntos de sapos se cruzem de modo que troquem de lugar.

Na versão original do quebra-cabeça, um sapo pode andar um quadrado para frente ou pular dois quadrados, desde que claro que o quadrado de destino é o vazio. Então, eles começam como:

AAAA.BBBB 

Os primeiros movimentos são:

AAA.ABBBB AAABA.BBB AAABAB.BB 

e eventualmente, se você fizer as coisas corretamente, elas terminam como:

BBBB.AAAA 

Em minha nova variante, um sapo só pode pular dois ou três quadrados (isto é, pule sobre um ou dois sapos para o quadrado vazio) – eles não podem avançar apenas um quadrado.

Pergunta 1:
Como os dois conjuntos de quatro sapos podem se cruzar usando apenas saltos para frente de dois ou três quadrados?

Pergunta 2:
A mesma pergunta, mas agora com uma linha de 13 quadrados e dois conjuntos de seis sapos.

Mais informações:
Usei um computador para pesquisar soluções com outros números de sapos. Considerando que a versão original pode ser resolvida com qualquer número de sapos à esquerda e qualquer número à direita, minha variante parece não ter solução se os números da esquerda e da direita forem diferentes. Quando eles são iguais, pode ser resolvido para 2 + 2, 4 + 4, 6 + 6, 8 + 8, 9 + 9, 10 + 10, 11 + 11 e 12 + 12 sapos, mas não procurei mais . Embora eu ainda não tenha examinado as soluções ótimas muito de perto, à primeira vista não há um padrão óbvio para elas, então não sei se uma solução ótima geral é possível. Pode muito bem haver uma solução geral que não seja a ideal em todos os casos.
Eu esperava que uma variante tão óbvia tivesse sido analisada antes, mas se foi, não a encontrei.

Editar: :
Acontece que meu programa de computador estava cheio de bugs. O quebra-cabeça pode ser resolvido quando o número de sapos em cada lado difere, exceto em alguns casos. Eu reanalisei os casos com até 12 sapos em cada lado, e os únicos que não têm solução são: 1 + 0, 1 + 1, 3 + 1, 3 + 3, 4 + 1, 4 + 3, 5 + 4, 5 + 5 , 6 + 1, 6 + 3, 7 + 4, 7 + 7, 9 + 1 e 9 + 4.
Há uma solução geral para números pares de sapos. Obrigado a astralfenix pela observação que me levou a Para sapos 2r + 2s, ele usa movimentos r + s + 3rs, o que não é muito ideal em todos os casos.

Comentários

• É este a mesma pessoa que executa o jaapsch.net? Se sim, ' gostaria de dizer que seu site é extremamente interessante e informativo – já o acompanho há algum tempo 🙂 Obrigado por executando um conjunto único de análises.
• @TheGreatEscaper: Sim, jaapsch.net é meu site. Nele, há uma página sobre a versão padrão do quebra-cabeça sapos saltitantes .