Angenommen, wir haben Hamiltonian auf $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ Dolch} + A)) $$ Wir kennen auch $ AA ^ {\ Dolch} = A ^ {\ Dolch} A-1 $ und $ A ^ 2 = 0 $, wobei $ W = A ^ {\ dagger} A $
Wie können wir $ H $ als $ H = \ hbar \ Big ausdrücken (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Bisher habe ich gezeigt, dass, wenn wir die Eigenwerte von $ W $ berücksichtigen, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Dies impliziert, dass $ A | \ psi \ rangle $ und $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ ebenfalls Eigenvektoren von $ W $ mit Eigenwert sind $ 1-w $. Mit $ A ^ 2 = 0 $ stellen wir fest, dass $ w = 0 $ oder $ 1 $
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie Sie Operatoren als Matrizen ausdrücken, wie die Mehrheit von In meinem Kurs wurde die Wellenfunktionsnotation verwendet. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand die nächsten Schritte hier erklären könnte, damit ich sie genauer verstehen kann.
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- Können Sie lösen für A aus den 2 Gleichungen, die Sie geschrieben haben? Nehmen Sie allgemeine komplexe Zahlen a, b, c, d als Matrixwerte von A an. Ich vermute, dass dies funktionieren könnte.
Antwort
Wie @MichaelBrown in der Antwort ausgeführt hat, müssen Sie den Operator nur zwischen zwei Zuständen einfügen, um das Matrixelement zu erhalten. Im Fall Ihres Hamiltonian $ H $ werden die Matrixelemente also als $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
angegeben. Ich sollte darauf hinweisen, dass das $ i $ „s, die Sie verwenden, sollten der Basissatz sein, in dem Sie sich befinden. Wenn Sie einen Status $ \ psi $ haben, dann ist $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ nur Dann können Sie die Matrixelemente Ihres Operators auf diese Weise ausdrücken. Wenn Sie den Operator zwischen den Status selbst einfügen, erhalten Sie die Erwartung des Status. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
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- Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, um zu antworten. Wie ich jedoch zu MichaelBrown sagte, wie kann ich dies auf diese Situation anwenden? Wo ich nur zwei Eigenvektoren und deren weiß entsprechende Eigenwerte.
Antwort
Das Matrixelement $ O_ {ij} $ eines Operators wird durch $ definiert $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ und es ist traditionell, dass der $ i $ -Index die Zeile und $ j $ die Spalte kennzeichnet. Auf diese Weise funktioniert die Matrixmultiplikation wie Sie würde erwarten: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$, das Sie durch Einfügen eines vollständigen Satzes von Zuständen anzeigen können.
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- Vielen Dank für Ihre Antwort. Wie kann ich dies jedoch auf diese Situation anwenden? Ich weiß nur zwei Eigenvektoren und ihre entsprechenden Eigenwerte.