Der QM-Spinoperator kann in Form von Gammamatrizen ausgedrückt werden, und ich versuche, eine Übung durchzuführen, bei der ich eine beweise Identität, die $ \ gamma ^ 5 $ und $ {\ mathbf {\ alpha}} $ verwendet:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Bei meinem ersten Versuch habe ich dies direkt in der Dirac-Darstellung getan, aber die Übung besagt, dass ich dies nicht tun kann. Kann mir jemand raten? Gibt es eine Identität oder einen Trick, der es mir ermöglichen würde, dies zu tun?
Zur Verdeutlichung ist $ \ alpha $ die folgende Matrix, in der die Nicht-Null-Elemente die Pauli-Matrizen sind:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
wobei
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Kommentare
- Was ist $ \ alpha $ und $ {\ bf S} $ explizit?
- Alpha ist Die Matrix, deren Einträge nicht auf der führenden Diagonale stehen, sind Pauli-Matrizen, aber nicht sicher, wie das hilft.
- Wie erwarten Sie, dass wir Ihnen helfen, eine Identität ohne eine klare Definition aller beteiligten Symbole zu beweisen?
- @Hollis Sicherlich können Sie zumindest sagen, was $ \ alpha $ bedeuten soll. ' ist keine Standardnotation wie die Gammamatrizen.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ ist so Standard wie die $ \ gamma $ -Matrizen. Die meisten Standard-Physikbücher führen $ \ mathbf {\ alpha} $ bereits vor den $ \ gamma $ -Matrizen ein.
Antwort
Ich folge den Konventionen von Wikipedia mit den folgenden Definitionen: $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ wobei $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Nachdem wir dies gesagt haben, notieren wir jetzt $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Explizit $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Dann $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Somit ist $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$